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lunes, 19 de abril de 2021

RETO (CAFÉ Y TEOREMAS) - FICHAS DE DOMINÓ

Sea $n$ un entero positivo. En un tablero de $2n \times 2n$ casillas se colocan dominós de manera que cada casilla del tablero sea adyacente a exactamente una casilla cubierta por un dominó. Para cada $n$, determine la mayor cantidad de dominós que se pueden poner de esa manera.

Nota: Un dominó es una ficha de $1 \times 2$ o de $2 \times 1$ cuadrados unitarios. Los dominós son colocados en el tablero de manera que cada dominó cubre exactamente dos casillas del tablero y los dominós no se superponen (no se traslapan). Decimos que dos casillas son adyacentes si son diferentes y tienen un lado en común.

Problema 2 VIII EGMO 2019 (Ucrania).


Este problema es un reto de Matemático Soriano. ¿No sabes qué son los retos? Lee la entrada retos matemáticos. La idea es debatir la solución de este problema en la sección de comentarios, seguro que tenemos una discusión llena de ideas maravillosas.




sábado, 5 de diciembre de 2020

RETO (CAFÉ Y TEOREMAS) - UNA DESIGUALDAD ALGO PECULIAR

 Demostrar que para todo entero $n>1$ se cumple:

$1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot ... \cdot \left( 2n - 1 \right) < n^n$

Problema propuesto en la Olimpiada de Alemania de 1990.


Este problema es un reto de Matemático Soriano. ¿No sabes qué son los retos? Lee la entrada retos matemáticos. La idea es debatir la solución de este problema en la sección de comentarios, seguro que tenemos un debate lleno de ideas maravillosas.



domingo, 14 de junio de 2020

RETO (CAFÉ Y TEOREMAS) - SUMAS DE 100 TÉRMINOS MUY CURIOSOS

Sean $x_1$, ..., $x_{100}$ números reales no negativos tales que $x_i + x_{i+1} + x_{i+2} \leq 1$ para todo $i = 1, ..., 100$ (aquí consideramos $x_{101}=x_1$ y $x_{102}=x_2$. Encontrar el máximo valor posible para la suma

$S = \sum_{i=1}^{100} x_i x_{i+2}$

Problema propuesto por Rusia en la Shortlist IMO 2010 (Astana).



Este problema es un reto de Matemático Soriano. ¿No sabes qué son los retos? Lee la entrada retos matemáticos. La idea es debatir la solución de este problema en la sección de comentarios, seguro que tenemos un debate lleno de ideas maravillosas.


miércoles, 3 de junio de 2020

RETO (CAFÉ Y TEOREMAS) - ENTEROS EN FORMA DE POTENCIA

¿Existen infinitos enteros positivos que no pueden representarse de la forma 

$a^3 + b^5 + c^7 + d^9 + e^{11}$

donde $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ son enteros positivos? Razónese la respuesta.

Problema 4 XLIX Olimpiada Matemática Española 2013.



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miércoles, 3 de julio de 2019

LA DESIGUALDAD DE JENSEN

Recuerdo mis años olímpicos, esa alegría que emanaba en mi interior al probar y descubrir nuevas inquietudes. Gran parte de ellas giraban en torno a la prueba de desigualdades, problemas preciosos que siempre te sorprendían y amenizaban la tarde. Para lidiar con ellos aprendías a usar distintas herramientas, maquinaria de mayor o menor potencia, desigualdades con nombres y apellidos, habituales en las mentes de aquellos que se autodenominan "olímpicos". Una de estas desigualdades con derecho a nombre propio que siempre llamó mi atención es la desigualdad de Jensen, no entraña un concepto complicado, quizás, tampoco sea la herramienta más sofisticada ni la más usada (ese derecho queda reservado a otras) pero cuando lees esas palabras en una demostración, "desigualdad de Jensen", sabes que ha merecido la pena echar unas horas en tu problema, que la espera y el esfuerzo empleados merecieron la pena. Tu problema se resolverá con una de esas cosas a las que nos gusta referirnos como "ideas felices", o como nosotros entendemos en un lenguaje más mundano, lo que estás a punto de leer provocará una sensación orgásmica en tu cabeza, de éxtasis y de sorpresa porque vas a descubrir algo nuevo que maravillará tus sentidos.

Intuición detrás de la desigualdad de Jensen

domingo, 12 de agosto de 2018

REFLEXIÓN SOBRE LAS OLIMPIADAS CIENTÍFICAS Y EXPERIENCIA EN LA IMC

Voy a presentarme, aunque quizás muchos de los que estéis leyendo esto ya me conozcáis. Soy Alejandro Fernández -sí como el cantante de rancheras- más conocido desde hace unos cuantos años -incluso antes de crear este sitio web- como "El matemático soriano". ¿Y para qué hago una presentación de mí mismo ahora?, pues, porque, en esta entrada no haré divulgación sino que hablaré de mi última aventura... en Bulgaria, haciendo mates... en concreto participando en la International Mathematics Competition (IMC), una de las olimpiadas más prestigiosas para los estudiantes universitarios de matemáticas. Y, aprovechando la excusa, he pensado en dar mi punto de vista sobre algunos temas sobre los que he leído en repetidas ocasiones durante estos últimos meses (¡parece que las Olimpiadas por fin se están poniendo  un poquito de moda en la red!).


Lo primero, y de forma breve, explicaré que es lo que hacemos en este tipo de competiciones. Es muy simple, cogemos varios problemas e intentamos resolverlos. Por ejemplo en la IMC nos tuvimos que enfrentar durante dos días seguidos a 5 problemas en 5 horas para hacer así un total de 10 problemas. Sus enunciados podrían resumirse en apenas carilla y media y sus soluciones en 7 u 8 (entre todos), eso sí, su dificultad no era equivalente a su extensión escrita... Por norma general en este tipo de competiciones solemos tener entre 40 y 90 minutos para cada problema, que varían según el formato y las pretensiones de la prueba. 

Ni que decir tiene que el esfuerzo necesario para ir bien preparado a este tipo de exámenes es titánico, aunque la recompensa bien lo merece, incluyendo la posibilidad de conocer gente de todos los continentes, viviendo situaciones variopintas, pasando de jugar a las cartas con colegas brasileños por la tarde a debatir sobre política con varios polacos a las 3 de la madrugada.

Sin enrollarme más, una de mis pretensiones con esta entrada era exponer mi opinión sobre varios temas de debate que últimamente están agitando las redes sociales, y eso es lo que vamos a hacer:

lunes, 11 de junio de 2018

LA EXCELENCIA SE QUEDA HUÉRFANA...

Ya han leído el título, triste, pero... cierto. En este país la excelencia en edades precoces solo se sustenta gracias al buen hacer de héroes desinteresados, que guían a sus jóvenes aprendices sin esperar nada a cambio por este importantísimo trabajo. En la otra cara de la moneda, las instituciones... cada vez más alejadas de la excelencia, despreocupadas y sin mirar al futuro.


Es cierto, a mí no me gusta acuñar la palabra excelencia, quizás todavía sea muy joven e iluso, pero creo que todo se puede conseguir si disfrutas con lo que haces y lo acompañas con buenas dosis de esfuerzo, el talento no es más que algo secundario. No obstante, esta vez haré una excepción, la situación así lo requiere, las altas cúspides han sobrepasado una línea roja con la que llevan jugando demasiado tiempo.

Premios Nacionales de Educación al rendimiento académico del alumnado, ¿los conocen?, pues en ellos se premian a los 15 alumnos que más han sobresalido en Educación Secundaria Obligatoria, Bachillerato y Formación Profesional, estos premios se otorgan según criterios del Ministerio de Educación, así que podríamos decir sin vacilar que el organismo público de mayor importancia a nivel educativo del país está considerando a estos 45 jóvenes como serios candidatos a ser la vanguardia intelectual de las próximas generaciones. O, al menos, eso es lo que yo opino desde mi modesto punto de vista, es evidente que la educación conlleva un gran gasto y cabría esperar que a largo plazo repercutiera en una mejora de la calidad de vida de los ciudadanos. Qué mejor que elegir a un pequeño grupo que ha demostrado un esfuerzo constante y continuado durante dos, tres o incluso cuatro años para liderarlo. Qué mejor que crear alicientes entre nuestros alumnos y reconocer su esfuerzo. Sería interesante, ¿no? Quiero pensar que estos Premios se crearon con esa intención.

martes, 27 de febrero de 2018

DIFERENCIAS ENTRE LAS OLIMPIADAS DE MATEMÁTICAS, FÍSICA Y QUÍMICA (UVa)

Ya hemos comenzado con la "temporada de Olimpiadas de Bachillerato". Dado que este es el primer año (en mucho tiempo) que no puedo participar en ellas, quizás por algo de nostalgia, me gustaría explicar las principales diferencias entre las tres Olimpiadas científicas más longevas de nuestro país, todo siempre desde mi punto de vista.

Me centraré en el distrito de la UVa (Universidad de Vallodilid, que agrupa las provincias de Valladolid, Segovia, Palencia y Soria) por ser el lugar en el que yo competía. Es un buen ejemplo ya que en este distrito suelen participar en torno a los 100 participantes por concurso. 

sábado, 30 de septiembre de 2017

ACERTIJO 90 - EL PROBLEMA DEL TRIÁNGULO

Como ya es tradición este último acertijo de esta tirada está pensado para los valientes que estén dispuestos a pegarse un buen rato con un buen problema. Por primera vez, el acertijo extremo que traemos en Matemático Soriano será de geometría y, la verdad, por lo menos para mí, este es un verdadero problema con una dificultad y una belleza increíbles.

Sean M y N puntos del lado BC del triángulo ABC tales que BM = CN, estando M en el interior del segmento BN. Sean P, Q puntos que están respectivamente en los segmentos AN, AM tales que ∠PMC = ∠MAB y ∠QNB = ∠NAC. ¿Es cierto que ∠QBC = ∠PCB? 

La solución como siempre algo más abajo, aunque esta vez ocupará un poquito más que de costumbre =)

viernes, 30 de septiembre de 2016

ACERTIJO 60 - DETRÁS DE LA INECUACIÓN III

Llegamos al final de este segundo mes de acertijos con este problemilla "extremo" (de ahí que los dos anteriores fueran similares, para preparar este). Espero que os haya gustado mucho estos retos diarios y que disfrutéis con este último desafío (uno de los más complicados de la historia del blog). 

Sea n ≥ 2 un número entero. Determinar el menor número real positivo γ de modo que para cualesquiera números reales positivos x1, x2,... ,xn y cualesquiera números reales y1, y2,... ,yn con 0 ≤ y1, y2,...,yn ≤ 1/2 que cumplan x1 + x2 + ... + xn = y1 + y2 + ... + yn = 1, se tiene que

x1x2 ...xn ≤ γ (x1y1 + x2y2 + ... + xnyn)


La solución se muestra más abajo



jueves, 29 de septiembre de 2016

ACERTIJO 59 - DETRÁS DE LA INECUACIÓN II

Si a y b son dos números reales diferentes, resolver el sistema:

x + y = 1
(ax + by)^4 =< a^4 *x + b^4 *y

* =< significa menor o igual.


La solución se muestra más abajo.





miércoles, 28 de septiembre de 2016

ACERTIJO 58 - DETRÁS DE LA INECUACIÓN

Si a y b son dos números reales diferentes, resolver el sistema:

x + y = 1
(ax + by)^2 =< a^2 *x + b^2 *y

* =< significa menor o igual.


La solución se muestra más abajo.





martes, 27 de septiembre de 2016

ACERTIJO 57 - INYECCIONES CURIOSAS

A cada entero positivo n se le asigna un entero no negativo f(n) de tal manera que se satisfagan las siguientes condiciones:

                            f(r*s) = f(r) + f(s)
                            f(n) = 0, siempre que la cifra en las unidades de n sea 3
                            f(10) = 0

Hallar f(1985). Justificar la respuesta.

La solución se encuentra más abajo.






sábado, 24 de septiembre de 2016

ACERTIJO 54 - UNO DE ÁNGULOS

En un triángulo ABC tenemos puntos D y E respectivamente de AB y AC. Conocemos la medida de los ángulos indicados a continuación: ABE=30º, EBC=50º, ACD=20º y DCB=60º. Hallar el valor del ángulo EDC.

La solución se muestra más abajo.





viernes, 23 de septiembre de 2016

jueves, 22 de septiembre de 2016

ACERTIJO 52 - EL PUZZLE DE LA CRUZ GRIEGA Y EL CUADRADO

Corta una cruz griega (aquella cuyos lados son todos iguales) en cuatro partes de tal forma que puedas volverlos a juntar formando un cuadrado. Intenta hacerlo de tal forma que las cuatro piezas sean iguales.

Resultado de imagen de cruz griega y cuadrado

La solución se muestra en el enlace.


martes, 28 de junio de 2016

LII OLIMPIADA MATEMATICA ESPAÑOLA BARCELONA, MI VISIÓN DEL "CONCURSANTE"

Como prometí voy a escribir una entrada de las Olimpiadas desde el punto de vista de uno de los participantes (de los normalillos) que tuvimos la suerte de competirla. Espero que os guste.


Este año tocaba celebrar las Olimpiadas en Barcelona (a la vez que el Barça-Madrid), en la Politécnica y la verdad, es que se esmeraron en evitar que tuviéramos un segundo libre. Nada más llegar a Barcelona (con algún contratiempo que me impidieron llegar con mi profesor responsable y el medalla de oro del año pasado) nos equiparon con nuestras acreditaciones naranjas necesarias para hacer el examen, nos indicaron cual sería nuestra habitación las próximas tres noches y nos hicieron la foto correspondiente.
Equipo Castilla y León

Una cena tranquila para conocer un poco al resto de participantes y directos a la cama para dormir (aunque poco debido al extremo calor y sobre todo a los nervios) y a la mañana siguiente ya nos estábamos dirigiendo a realizar la primera parte del examen, ya sabéis tres horitas y media para tres problemas cuyos enunciados apenas superan las tres o cuatro líneas. Además de ser un examen duro, también fue uno de los más protocolarios que he vivido. Primero, nos nombraban por orden alfabético y tras enseñar nuestra acreditación esperábamos turno para hacernos una foto individual (aunque no se que ha sido de ellas) y nos dirigíamos a la sala del examen a buscar nuestro DNI y nuestro número asignado (el mío el 24) para encontrarnos con tres carpetas (una para guardar cada problema), una bolsa con nuestro DNI para guardar relojes, móviles y demás cacibaches y una botellita de agua y papeles para responder y mandar nuestras dudas, por escrito, al tribunal durante la primera media hora. Y, lo que más me sorprendió, ¡al fondo del aula había cinco mesas repletas de dulces y bebidas para reponer fuerzas cuando quisiéramos! (aunque confieso que apenas los probé, falta de tiempo). Tras todo esto, nos desearon toda la suerte del mundo, nos dejaron unos papeles del ministerio que firmar para un hipotético premio y, a las 10 exactas comenzamos con la primera parte de la LII OME (al final de la entrada colgaré los problemas con sus soluciones).



He de confesar que no fue el examen de mi vida, apenas resolví la primera parte del tres (para luego después del examen descubrir que me había equivocado con un fallo bastante importante), el segundo lo intenté sin obtener resultados decentes y el primero sí que lo conseguí, más o menos como todos los allí presentes. De hecho, recuerdo, que la gran mayoría estábamos hechos polvo y realmente afligidos por haber sido superados, quizá demasiado, por el examen y llenos de un sentimiento de impotencia y al menos en mi caso cierta sensación de incompetencia que se reflejaba claramente en nuestras caras y en el ambiente. La lucha por los oros y por los bronces ya estaba bastante diferenciada tras el primer día.

Por la tarde nos llevaron al  MMACA ("Museu de Matemàtiques de Catalunya") donde realizamos muchas actividades interactivas muy curiosas y tras ello se nos entregaron los diplomas por haber sido capaces de llegar hasta allí (aquí algunas fotos del museo).






Tras todo esto (y sus correspondientes partiditas de cartas con mis compañeros de habitación, los dos leoneses y unos catalanes muy majos) nos dispusimos a dormir para prepararnos para el segundo día de examen.

El sábado empezábamos a las 9:30, mismo protocolo (pero sin las fotos y con algunos llegando excesivamente justos de tiempo) y otros tres problemas con los que pegarnos durante tres horas y media. Yo había conseguido olvidarme del disgusto del día anterior y conseguí resolver el problema número cuatro (o al menos eso es lo que yo pienso y soy feliz haciéndolo), con el cinco no tuve mucho éxito y por último, con el sexto, pensé que había conseguido resolverlo, pero como muchos otros había caído en una trampa que había sido perfectamente tejida por y para nosotros y que solo uno los 77 allí presentes, el tercer clasificado en el computo global, fue capaz de resolver.

Por la tarde, una visita guiada para hacer tiempo para la corrección de exámenes y por fin, a las 19:30, el gran momento, la ceremonia de premios. Primero la presentación de autoridades, Xavier Jarqué (representando a la Asociación de profesores de matemáticas de Cataluña), Francisco Marcellán (presidente de la RSME), Miquel A. Essomba (representando al Ayuntamiento, o más bien dejándolo en ridículo, llegó bastante tarde y encima empezó hablando en catalán por error), Meritxel Ruiz (la Consejera),Violeta de Miguel (representando al Ministerio) y el rector de la Politécnica. El acto no tuvo desperdicio, en cuanto Marcellán tuvo la palabra, no paró de atacar al Ministerio lanzando verdades como puñales sobre las pésimas e inaceptables condiciones y tratos que se les da a la enseñanza y a la investigación en este país a lo que la representante del Ministerio trato de defenderse con poco éxito y bastante aturdida y descolocada.

Mesa de autoridades
Y tras todo el acto, prosiguió el nombrado de todas y cada una de las treinta y seis medallas (dieciocho de bronce, doce de plata y seis de oro) empezando por la última. Y comenzando por la medalla treinta y seis anunciaron: "décimo octava medalla de bronce, va para Castilla y León", los tres castellano y leoneses que estábamos juntos nos miramos con sorpresa y tras ello nombran "Alejandro Fernández Jiménez". No sé que pensarían los otros treinta y cinco que recibieron su medalla pero yo (además de chupar mucha cámara por ser el primero en subir al escenario) sentí una mezcla de emociones entre sorpresa (no me la esperaba), alegría y agradecimiento por darme el bronce treinta y seis (que suele ser una lotería en la que muchos no consiguen medalla). Castilla y León se llevó también la primera medalla de plata gracias a Aitor (a una del oro y de representar a España en las Internacionales, aunque estaba contento porque tampoco se la esperaba) y Don Marcos García Fierro, esta vez no pudo ser, Marcos ganó un oro y un bronce internacional cuando estaba en tercero de la ESO, sin embargo, "el excelente impulso" y "la grandiosa ayuda" que se da en este país a los que se dedican a pensar (no como a los que solo dan patadas a un balón) ha hecho que, en mi opinión, este país haya perdido una buenísima oportunidad de ganar su primera medalla de oro en unas Internacionales (pero bueno, ya sabemos como es España). Tras esto nos fuimos de cena y al día siguiente la delegación de Valladolid nos dedicamos a hacer algo de turismo. Aquí os dejo fotos de los medallistas y el listado de los treinta y seis alumnos pre-universitarios que mejor hemos combinado la suerte y la habilidad matemática este año.

Yo recogiendo mi medalla 31-36

25-30
19-24

16-18
13-15
10-12

9
8

Aitor 7

6
5

4

3

2

1

Equipo Olímpico Español 2016
Medallas Castilla y León

                    

Listado oros y platas
Listado bronces

Aquí os dejo un enlace a la página oficial de la LII OME:


Y un segundo enlace a los problemas resueltos:




domingo, 7 de febrero de 2016

PROBLEMA 3 OME LII DISTRITO DE VALLADOLID

Los pasados días 15 y 16 de enero tuve la suerte de participar y finalizar segundo en la OME por el distrito de Valladolid. A continuación os dejo con uno de los seis problemas (aquel en el que desarrolle mi mejor solución en mi opinión). Os he dejado enlaces a noticias y dicha solución más abajo. Por favor, comentad si hayáis alguna otra solución para este problema.

PROBLEMA 3
Sea n un número natural que no es primo, y 1=d_1<d_2<...<d_k=n sus divisores naturales, con k>=3. Demostrar que ese divisores NO están en progresiones aritméticas.









thumb image










SOLUCIÓN:  Que k>=3 significa que siempre existirán los d_k, d_(k-1) y d_(k-2). Además si estuvieran en p.a. deberían cumplir que d_k - d_(k-1) = d_(k-1) - d_(k-2).

Sin embargo, tras unos pocos cálculos llegamos a la conclusión de que:

d_k - d_(k-1) >= d_k/2 > d_k/2 - 1 >= d_(k-1) - d_(k-2)

Y por resolución a lo absurdo ya tenemos resuelto el problema.


ENLACES LII OME DISTRITO DE VALLADOLID

http://www.desdesoria.es/?p=175111

http://sorianoticias.com/noticia/2016-01-29-dos-alumnos-ies-machado-3-mejores-matematicos-olimpiada-uva-29688

http://www.heraldodesoria.es/noticias/soria/2016/01/28/dos-sorianos-entre-los-tres-primeros-clasificados-fase-local-olimpiada-matematica-729937-1521032.html

http://www.elnortedecastilla.es/segovia/201601/29/segoviano-guillermo-alonso-sube-20160129132028.html

http://www.icalnews.com/Mostrar.cfm/noticias/I/alumno/segoviano/guillermo/alonso/alonso/linaje/primer/clasificado/fase/local/olimpiada/matematicas/356078

http://segoviaaldia.es/not/94927/un-segoviano-primer-clasificado-en-la-fase-local-de-la-olimpiada-de-matematicas