domingo, 29 de abril de 2018

LOS 23 PROBLEMAS DE HILBERT

Es bien conocida la revolución completa que sufrió la física a principios del siglo XX, la relatividad y la mecánica cuántica removió los cimientos sobre los que se sostenía esta ciencia hasta demolerlos casi por completo. Sin embargo, es menos conocida la otra gran revolución en la que se vió involucrada la "hermana" de la física, las matemáticas que durante el siglo pasado cambiaron por completo dando como resultado infinidad de nuevas ramas.

Así, la famosa lista de 23 problemas que propuso David Hilbert, casi con total seguridad el mejor matemático de su generación, fue clave en este profundo cambio cognitivo que sufrieron las Ciencias Exactas. 

David Hilbert, prolífico matemático

"¿Quién de nosotros no quisiera levantar el velo tras el cual yace escondido el futuro, y asomarse, aunque fuera por un instante, a los próximos avances de nuestra ciencia y a los secretos de su desarrollo ulterior en los siglos futuros? ¿Cuales serían las metas particulares que tratarán de alcanzar los líderes del pensamiento matemático de las generaciones futuras? ¿Qué nuevos métodos y hechos nos depararán los siglos por venir en el ancho y rico campo del pensamiento matemático?"

Así es como comenzó el matemático alemán su intervención en el Congreso de París de 1900. Hilbert remarcó como algunos problemas de gran dificultad, todavía sin resolver, habían hecho aflorar chorros de creatividad que dieron lugar a importantes descubrimientos y a la obtención de nuevas herramientas matemáticas. Por ello, pensaba que al introducir una lista con problemas clave se lograría un gran avance. Los problemas en concreto fueron los siguientes:

  1. Problema de Cantor sobre el cardinal del continuo.
  2. La compatibilidad de los axiomas de la aritmética.
  3. La igualdad de los volúmenes de dos tetraedros de igual base e igual altura.
  4. El problema de la distancia más corta entre dos puntos. ¿Es la línea recta la distancia más corta entre dos puntos, sobre cualquier superficie, en cualquier geometría?
  5. Establecer el concepto de grupo de Lie, o grupo continuo de transformaciones, sin asumir la diferenciabilidad de las funciones que definen el grupo.
  6. Axiomatización de la física. ¿Es posible crear un cuerpo axiomático para la física?
  7. La irracionalidad y trascendencia de ciertos números como e, 21/2,eπ, etc.
  8. El problema de la distribución de los números primos.
  9. Demostración de la ley más general de reciprocidad en un cuerpo de números cualesquiera.
  10. Establecer métodos efectivos de resolución de ecuaciones diofánticas.
  11. Formas cuadráticas con coeficientes algebraicos cualesquiera.
  12. La extensión del teorema de Kronecker sobre cuerpos abelianos a cualquier dominio de racionalidad algebraica.
  13. Imposibilidad de resolver la ecuación general de séptimo grado por medio de funciones de sólo dos argumentos.
  14. Prueba de la condición finita de ciertos sistemas completos de funciones.
  15. Fundamentación rigurosa del cálculo enumerativo de Schubert o geometría algebraica.
  16. Problema de la topología de curvas algebraicas y de superficies.
  17. La expresión de formas definidas por sumas de cuadrados.
  18. Construcción del espacio de los poliedros congruentes.
  19. Las soluciones de los problemas regulares del cálculo de variaciones, ¿son siempre analíticas?
  20. El problema general de condiciones de contorno de Dirichlet
  21. Demostración de la existencia de ecuaciones diferenciales lineales de clase fuchsiana, conocidos sus puntos singulares y grupo monodrómico.
  22. Uniformidad de las relaciones analíticas por medio de funciones automórficas: siempre es posible uniformizar cualquier relación algebraica entre dos variables por medio de funciones automorfas de una variable.
  23. Extensión de los métodos del cálculo de variaciones.
Georg Cantor

Lo primero que llama la atención es la gran variedad y tipos problemas que nos encontramos. Algunos de ellos simplemente pretenden mejorar, o crear, una axiomática, es decir, unas normas básicas que sirvan para poder construir el funcionamiento de una rama de una ciencia (en matemáticas son muy usuales e incluso fundamentales). Esto es, por ejemplo, el caso del problema 6, en el que Hilbert propone intentar dar una axiomatización de la física. Algunos problemas fueron resueltos rapidamente y otros, actualmente, más de un siglo después, siguen sin ser solucionados.

No obstante, más allá de la evidente importancia que tiene resolver estos desafíos, Hilbert, en consonancia con los movimientos vanguardistas que estaban naciendo en esa época, pretendía que su lista de problemas sirviera de manifiesto, un manifiesto con el cual construir el importante edificio de las matemáticas durante el próximo siglo. Y definitivamente lo consiguió, pues las ciencias exactas experimentaron un cambio radical que las cambió por completo, axiomatizándolas y según la opinión de varios matemáticos, mejorándolas.

Actualmente, como una especie de "herencia" de la lista del Hilbert, la asociación sin ánimo de lucro, el Instituto Clay, propuso los conocidos como 7 problemas del milenio (algunos ya estaban en la lista del matemático alemán). Con la idea de incentivar su resolución, a aquellos que consigan dar una solución válida para alguno de estos problemas se les premiará con un millón de dólares.

Actualmente solo ha sido resuelto uno de los 7 retos, fue gracias a Grigori Perelman, quien rechazó la compensación económica y todos los premios y reconocimientos que se le ofrecieron.

Grigori Perelman


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