viernes, 25 de mayo de 2018

SOBRE FRACTALES

Fractales, ese concepto, a mi parecer, curioso, incluso enigmático, una de esas muchas maravillas de la ciencia. De las que te animan a estudiarla, a entenderla, a comprenderla... para embarcarte en el apoteósico viaje del saber y descubrir los misterios que esconde la naturaleza que nos rodea.


Comencemos de nuevo, como es debido, primero, ¿qué es un fractal? y sobre todo... ¿por qué los alabo tanto? (esta respuesta será un poco más larga y con ella, ya de paso, espero transmitir mi "devoción"). Bien, según la RAE, un fractal se define de la siguiente forma:
"Estructura iterativa que tiene la propiedad de que su aspecto y distribución estadística no cambian cualquiera que sea la escala con que se observe."
Hablando de forma más clara y concisa (y menos rigurosa). Podría decirse que el fractal "toma" una primera forma básica, puede ser cualquiera, la que se nos pase por la cabeza, y vamos repitiendola infinitas veces, no te confundas, se pueden conseguir estructuras realmente complejas con este procedimiento. Por ejemplo, aquí se van añadiendo sucesivamente varios triángulos equiláteros:

Copo de nieve de Koch

Para poder explicar estas dos definiciones y las intuiciones que traen asociadas vamos a recurrir a uno de los fractales más famosos y sencillos, el triángulo de Sierpinsky.


En esta animación, observamos la creación de los cinco primeros pasos del triángulo de Sierpinsky. Su construcción es sencilla, tomamos un triángulo equilátero y substraemos de él otro más pequeño con vértices en los puntos medios de cada uno de sus lados. Así, nos quedamos con tres nuevos triángulos equiláteros, cada uno de ellos del tamaño que tiene aquel que acabamos de quitar. Tras esto repetimos este paso inductivo en cada uno de estos nuevos polígonos y así durante un número indefinido de ocasiones, infinitas... 

Para presentar nuestra primera definición, la de la RAE, nos apoyaremos en esta nueva figura:


La idea que esconde el concepto de fractal es la siguiente: Sin importar cuanto nos acerquemos al triángulo, siempre obtendremos la misma figura que teníamos al principio

Sierpinsky ideó una construcción realmente impresionante, ¿no? Además, tiene su espectacular versión tridimensional, la pirámide de Sierpinsky. 

Tomada de El maravilloso mundo de... Hipatia

Esta figura fue introducida en 1919 por el matemático polaco Waclaw Sierpinski, y desde entonces, se ha convertido, sin lugar a dudas, en uno de los iconos de esta rama de las matemáticas. No obstante, ahora nos disponemos a hablar del que quizás sea el fractal más reconocible y admirado. Este no es otro que el conjunto de Mandelbrot, y por supuesto vamos a explicar todo acerca de esta maravilla visual.

Tomada de rocspirit

Para explicar y entender a este fractal necesitaremos unos breves apuntes sobre unos números un tanto peculiares, los números complejos. Si te preguntara, ¿cuál es el valor de la raíz cuadrada de -1?, ¿qué me responderías? Si te has quedado en blanco no tienes por que preocuparte, en los números en los que solemos trabajar, los reales, esta pregunta no tiene sentido, pero puede resultar interesante ser capaz de trabajar con él, por ello, asignamos un valor imaginario a este "nuevo número" y lo llamamos i (de imaginario), mezclando reales con imaginarios construimos el conjunto de los números complejos, así por ejemplo 2 + 3*i sería 2 más tres veces raíz de -1. Como estos números tienen dos elementos, o partes, la que se conoce como real (en nuestro ejemplo 2) y la que hemos denotado como imaginaria (en nuestro ejemplo 3*i) necesitaremos dos elementos para poder representarlos, ya no nos servirá una única recta como ocurría con los reales. Para que puedas visulizarlo aquí tienes como se representaría 2 + 3*i:

2+3*i

Ahora que ya tenemos estos preliminares podemos contar como se construye este fractal. Tomamos un número complejo al que llamaremos c. Aprovechando este c vamos a construir la siguiente sucesión S, con término inicial 0. Y el n-ésimo término se definirá de forma iterativa:


Decidiremos si el número c se encuentra en el conjunto de Mandelbrot con el siguiente criterio. Si, aún aplicando infinitas veces la iteración que acabamos de escribir nuestro número sigue siendo finito, entonces incluimos c, y en el caso contrario no lo hacemos. 

Dada su relación con "sucesiones infintas", a fecha de hoy no conocemos cuál es la forma exacta de este fractal... y es posible que nunca lo hagamos. Aún así hemos avanzado mucho desde la primera toma de contacto con este objeto. En 1978 se habló por primera vez de este conjunto, y lo que observaron los matemáticos que lo descubrieron fue esto:


Verdaderamente hemos avanzado de forma considerable, pues a día de hoy nos encontramos con esta maravilla, AVISO, puede marear un poco


Si no consigues verlo correctamente, la figura de arriba es un gif, aquí te dejo la referencia para que puedas disfrutarlo cuando quieras y con menos problemas de carga. 

En este dibujo los puntos negros son aquellos que con total seguridad estarán en el conjunto de Mandelbrot, en cambio, si no sabemos si este pertenece o no coloreamos según la probabilidad que tenga de aparecer, tonos más oscuros implican mayor probabilidad de pertenecer a este conjunto. Los límites son difusos...

Si recuerdas la definición que dimos al principio sobre fractal, "estructura iterativa que tiene la propiedad de que su aspecto y distribución estadística no cambian cualquiera que sea la escala con que se observe" observarás que en esta animación las estructuras principales se repiten, ahí tienes la naturaleza fractal de este objeto matemático.

Figuras como esta te hacen reflexionar.

El conjunto de Mandelbrot es una invención, una creación, un artificio del hombre, o por el contrario... se trata de un descubrimiento que la naturaleza escondía ante nuestros ojos. Y yendo a la generalidad, ¿las matemáticas son una producción de los seres humanos o es un simple lenguaje utilizado para comunicarnos con la naturaleza? 

Fractales y Naturaleza

Fractales y Naturaleza

De hecho estas preguntas son muy interesantes, más allá del hedonismo que podamos extraer al responderlas, estas cuestiones invitan a reflexionar. Si estructuras tan complejas como el conjunto de Mandelbrot surgen a partir de construcciones tan sencillas, no podría darse esta situación también con elementos que todavía no terminamos de comprender. Por ejemplo, el ADN, una estructura tan enmarañada, que rige nuestro comportamiento vital, ¿podría haberse creado a partir de alguna regla elemental? Es por ello que el estudio de los fractales es tan interesante en la actualidad.


Fractales, donde los límites y las fronteras, se difuminan, desaparecen, fundiéndose en un baile místico con la infinitud. Ojalá esto no fuesen simples artificios matemáticos, sino una realidad, y que nuestro mundo, fuese como el de los fractales, libre de fronteras.

Este post forma parte del Carnaval Matemáticas, que en esta septuagésima séptima edición también denominada 9.1, está organizada por Rafael Martínez González a través de su blog El mundo de Rafalillo.

Espero que hayáis disfrutado con esta entrada y que hayáis descubierto alguno de los secretos de los fractales. Por último, os dejo con un este gif que encontré buscando información. También os aporto toda la webgrafía que he utilizado, por si queréis continuar maravillándoos con la magia de los fractales.

Tomada de matematicascercanas.com

WEBGRAFÍA:

2 comentarios:

  1. Respuestas
    1. Muchas gracias por el comentario, aunque, por supuesto tomé muchas referencias de otras páginas web.

      Eliminar