domingo, 19 de enero de 2020

EL FRACTAL DE LOS LAGARTOS. ESCHER


Obra de M.C. Escher, "Smaller & Smaller" (1956). El genio nos deleita con esta composición en la que lagartos se reúnen para formar un precioso fractal.

jueves, 2 de enero de 2020

ENTRANDO EN 2020

Damos la entrada a un nuevo año, y para empezarlo por todo lo alto haremos una recopilación de algunas de las curiosidades más relevantes del número 2020, el del año en el acabamos de entrar.

2020 es el número más pequeño que puede escribirse como el número más pequeño que se puede escribir como la suma de los cuadrados de cuatro primos y como la suma de dos cuadrados de dos maneras distintas.

$2020 = 17^2 + 19^2 + 23^2  + 29^2$
$2020 = 16^2 + 42^2$
$2020 = 24^2 + 38^2$

Menor número que se puede escribir como suma de los cuadrados de cuatro primos y como suma de dos cuadrados de dos maneras

Gracias a @JMSepulcre, que compartió en su cuenta de twitter para dar la bienvenida al nuevo año, podemos mostrar varias identidades muy interesantes sobre el número 2020.


Por último, el número 2020 es un número autobiográfico. Un número autobiográfico es aquel en el que, empezando por la izquierda, su primera cifra indica el número de ceros que tiene el número, su segunda cifra el número de unos, su tercera de cifra el número de doses, y así sucesivamente... Por ello, 2020 es un número autobiográfico.

2 CEROS, 0 UNOS, 2 DOSES Y 0 TRESES

Las últimas curiosidades sobre el 2020 son.

$2020 = 402 + 403 + 404 + 405 + 406$
$2020 = 249 + 250 + ... + 255 + 256$
$2020 = 31 + 32 + 33 + ... + 70$
$2020 = 4^2 + 6^2 + 8^2 + ... + 22^2$
$2020 = t_3 + t_4 + t_5 + ... + t_22$
(Donde los $t_i$ son los números triangulares)

Así que, hemos de decir que 2020, matemáticamente hablando, empieza bien.


lunes, 30 de diciembre de 2019

ACERTIJO 109 - LOS n PRIMEROS NÚMEROS SUMAN

La suma de los primeros $n$ enteros positivos es un número de tres cifras iguales. ¿Cuánto vale la suma de las cifras de $n$?


La solución como siempre algo más abajo.


viernes, 6 de diciembre de 2019

ACERTIJO 108 - RESTOS Y NÚMEROS DE DOS CIFRAS

¿Cuál es el mayor resto posible que puede obtenerse al dividir un número de dos cifras por la suma de sus cifras?


La solución como siempre algo más abajo.

jueves, 28 de noviembre de 2019

ACERTIJO 107 - LA ALTURA DEL HERMANO

Cuatro hermanos, Teo, Adrián, Pedro y María, tienen diferentes estaturas. Teo es más bajo que Adrián tantos cm como es más alto que Pedro. Teo mide 184 cm, y el promedio de las estaturas de los cuatro hermanos es 178 cm. ¿Cuál es la estatura de María?


La solución, como siempre, algo más abajo

domingo, 29 de septiembre de 2019

IMC 2019, MI PROBLEMA FAVORITO

El pasado verano, entre el 28 de julio y el 3 de agosto se celebró la vigésimo sexta edición de la International Mathematics Competition for University Students y tuve la suerte de poder asistir a la pequeña localidad búlgara de Blagoevgrad para representar a mi universidad, la Universidad Autónoma de Madrid, en esta competición tan interesante y disfrutar de la oportunidad de conocer a personas maravillosas y realmente interesantes de todas las partes del mundo. Recuerdo interminables partidas de los juegos más rocambolescos que podría haber imaginado, pachangas de baloncesto con compañeros de cuatro continentes distintos, charlas sorprendentes bajo la luz de la luna sobre los temas más curiosos que se me ocurren, desde política, educación hasta simplemente risas, partidas de ajedrez... y un montón de anécdotas más que seguro, tardaré mucho en olvidar. Pero para el que le interese acercarse a chismorreos y opiniones variadas, el año pasado, tras mi primera participación en este concurso decidí dar mi opinión sobre temas relevantes relacionados con el mundo de las olimpiadas: el primer oro de un español en una olimpiada científica preuniversitaria, reflexión de para que sirven estos concursos, su parecido con el deporte... y también en ese post se intenta transmitir la experiencia vivida durante la semana del concurso. Para todo aquel que esté interesado en esto, le recomiendo que lea la entrada del blog "Reflexión sobre las olimpiadas científicas y experiencia en la IMC". Aunque antes de comenzar con el tema de esta entrada, me gustaría concluir esta introducción de la misma forma que concluí mi reflexión del año anterior, que para mí es un motor que me empuja hacia delante.

Si disfrutas con lo que haces seguro que tendrás éxito.



Pero este es un blog de matemáticas y aquí hemos venido a hablar de lo que a todos nos gusta, matemáticas, y un concurso tan importante como este siempre es una buena excusa para hacerlo, ¿no creéis? La dinámica del mismo es muy sencilla durante dos días seguidos te sientas en una silla desde las 8 de la mañana hasta la 1 de la tarde para enfrentarte a 5 problemas cuyos enunciados ocupan como mucho 5 ó 6 líneas (aunque normalmente suelen ser 2 ó 3) pero que son más que suficiente para tenerte entretenido durante esas 5 horas y mucho más. Cada uno de esos problemas se puntúa de 0 a 10 (solo con enteros), 10 si lo tienes perfecto, 0 si no has obtenido nada relevante (aunque he de decir que visto "ceros" de gran calidad matemática) y si has obtenido algún resultado relevante para resolver el problema o introduces una idea potente con este mismo fin, pero sin terminar de probar el enunciado, se te adjudica una puntuación intermedia a criterio del corrector. Esta edición conseguí puntuar en seis de los diez problemas (aunque solo pudo ser puntuación perfecta en uno de ellos) para acumular un total de 35 puntos. Pero, no es mi intención hablar sobre cómo me desenvolví durante el examen, esta vez quiero hacer una de las cosas que más me gustan, resolver uno de los diez problemas de esta edición explicando el método para solucionarlo paso a paso, e intentar convencer al lector de que los que competimos aquí no tenemos por qué ser personas extraordinarias sino que cualquiera es capaz de entender la solución de uno de estos.

Tras todos estos preámbulos vamos a ello, el problema que he elegido es el problema 7 (el segundo del segundo día) que fue mi favorito (y el único en el que pude conseguir los 10 puntos), el enunciado que apareció el día de la competición (tras traducirlo del inglés) es el siguiente:

Sea $C = \left\lbrace 4, 6, 8, 9, 10, ... \right\rbrace $ el conjunto de los enteros positivos compuestos. Para cada $n \in C$ sea $a_n$ el entero positivo $k$ más pequeño que divide a $k!$ es divisible por $n$. Determina si la siguiente serie converge:

$\sum_{n \in C} \left( \dfrac{a_n}{n} \right)^n $

Propuesto por el profesor Orif Ibrogimov,
de la ETH Zurich y la National University of Uzbekistan.


sábado, 21 de septiembre de 2019

ACERTIJO 106 - FABRICANDO VEINTES

La idea de este problema es crear el número 20 usando solo uno de los nueve dígitos seis veces o menos. Puedes usar los dígitos como más te guste, juntarlos para crear números de dos, tres, cuatro... cifras, usar cualquier símbolo, paréntesis, suma, resta, multiplicación, división o cualquier símbolo que se te ocurra tantas como necesites. ¿Puedes hacerlo con cada una de las nueve cifras?


La solución como siempre algo más abajo.


martes, 17 de septiembre de 2019

ACERTIJO 105 - 5 NÚMEROS CONSECUTIVOS

Álvaro quiere escribir 5 enteros positivos consecutivos, de manera que tres de ellos tengan la misma suma que los otros dos. ¿Cuántos conjuntos de 5 números puede escribir?




La solución se encuentra algo más abajo.


martes, 10 de septiembre de 2019

ACERTIJO 104 - LOS ALUMNOS MENTIROSOS

Irene pregunta a cinco de sus alumnos cuántos de ellos han estudiado el día anterior. Pablo dice "ninguno", Berta dice "uno", Ana dice "dos", Eugenio dice "tres" y Gerardo dice "cuatro", Irene sabe que los estudiantes que no han estudiado mienten pero los que han estudiado dicen la verdad. ¿Cuántos de esos cinco estudiantes estudiaron el día de antes?


La solución como siempre algo más abajo.