El pasado verano, entre el 28 de julio y el 3 de agosto se celebró la vigésimo sexta edición de la International Mathematics Competition for University Students y tuve la suerte de poder asistir a la pequeña localidad búlgara de Blagoevgrad para representar a mi universidad, la Universidad Autónoma de Madrid, en esta competición tan interesante y disfrutar de la oportunidad de conocer a personas maravillosas y realmente interesantes de todas las partes del mundo. Recuerdo interminables partidas de los juegos más rocambolescos que podría haber imaginado, pachangas de baloncesto con compañeros de cuatro continentes distintos, charlas sorprendentes bajo la luz de la luna sobre los temas más curiosos que se me ocurren, desde política, educación hasta simplemente risas, partidas de ajedrez... y un montón de anécdotas más que seguro, tardaré mucho en olvidar. Pero para el que le interese acercarse a chismorreos y opiniones variadas, el año pasado, tras mi primera participación en este concurso decidí dar mi opinión sobre temas relevantes relacionados con el mundo de las olimpiadas: el primer oro de un español en una olimpiada científica preuniversitaria, reflexión de para que sirven estos concursos, su parecido con el deporte... y también en ese post se intenta transmitir la experiencia vivida durante la semana del concurso. Para todo aquel que esté interesado en esto, le recomiendo que lea la entrada del blog "Reflexión sobre las olimpiadas científicas y experiencia en la IMC". Aunque antes de comenzar con el tema de esta entrada, me gustaría concluir esta introducción de la misma forma que concluí mi reflexión del año anterior, que para mí es un motor que me empuja hacia delante.
Si disfrutas con lo que haces seguro que tendrás éxito.
Pero este es un blog de matemáticas y aquí hemos venido a hablar de lo que a todos nos gusta, matemáticas, y un concurso tan importante como este siempre es una buena excusa para hacerlo, ¿no creéis? La dinámica del mismo es muy sencilla durante dos días seguidos te sientas en una silla desde las 8 de la mañana hasta la 1 de la tarde para enfrentarte a 5 problemas cuyos enunciados ocupan como mucho 5 ó 6 líneas (aunque normalmente suelen ser 2 ó 3) pero que son más que suficiente para tenerte entretenido durante esas 5 horas y mucho más. Cada uno de esos problemas se puntúa de 0 a 10 (solo con enteros), 10 si lo tienes perfecto, 0 si no has obtenido nada relevante (aunque he de decir que visto "ceros" de gran calidad matemática) y si has obtenido algún resultado relevante para resolver el problema o introduces una idea potente con este mismo fin, pero sin terminar de probar el enunciado, se te adjudica una puntuación intermedia a criterio del corrector. Esta edición conseguí puntuar en seis de los diez problemas (aunque solo pudo ser puntuación perfecta en uno de ellos) para acumular un total de 35 puntos. Pero, no es mi intención hablar sobre cómo me desenvolví durante el examen, esta vez quiero hacer una de las cosas que más me gustan, resolver uno de los diez problemas de esta edición explicando el método para solucionarlo paso a paso, e intentar convencer al lector de que los que competimos aquí no tenemos por qué ser personas extraordinarias sino que cualquiera es capaz de entender la solución de uno de estos.
Tras todos estos preámbulos vamos a ello, el problema que he elegido es el problema 7 (el segundo del segundo día) que fue mi favorito (y el único en el que pude conseguir los 10 puntos), el enunciado que apareció el día de la competición (tras traducirlo del inglés) es el siguiente:
Sea $C = \left\lbrace 4, 6, 8, 9, 10, ... \right\rbrace $ el conjunto de los enteros positivos compuestos. Para cada $n \in C$ sea $a_n$ el entero positivo $k$ más pequeño que divide a $k!$ es divisible por $n$. Determina si la siguiente serie converge:
$\sum_{n \in C} \left( \dfrac{a_n}{n} \right)^n $
Propuesto por el profesor Orif Ibrogimov,
de la ETH Zurich y la National University of Uzbekistan.
