EL PROBLEMA DE LOS CUADRADOS

Hace ya algo más de un mes escribimos aquí sobre el Problema de Basilea, resuelto por Euler hace ya casi 300 años. Este problema era realmente complicado y es por eso que decidimos proponer otro problema más sencillo (y a mi parecer bastante "bello") para acotar está suma.

Recordemos todo esto rápidamente, el problema de Basilea pregunta lo siguiente:

¿Cuál es la suma infinita de los inversos de los cuadrados perfectos?

El problema de Basilea, arte urbano

Como ya hemos dicho antes la respuesta fue conseguida por Euler que demostró que el número buscado era un sexto de pi elevado al cuadrado. Sin embargo hay una forma "elemental" de conseguir una cota superior de este número, un resultado que sabemos que nuestra suma no superará. El enunciado del problema que nos da dicho valor es el siguiente:

Prueba que los cuadrados de lado 1, 1/2, 1/3 ... pueden ser colocados todos ellos dentro de otro cuadrado mayor de lado 3/2 sin que ninguno de los "cuadraditos pequeños" compartan algún punto interior (es decir, que no se intersequen).

La relación que mantiene este segundo enunciado con el anterior se basa en las áreas de los cuadrado, cada uno de nuestros infinitos cuadrados posee una superficie que coincide con el inverso de un cuadrado perfecto, al introducir todos ellos en un cuadrado de lado 3/2, habremos probado que la suma es inferior a 2.25 (3/2 elevado al cuadrado). 

Ya lo propusimos hace algo más de un mes en la entrada que hablaba sobre el problema de Basilea. Sin embargo, si no lo resolviste entonces te propongo que, antes de leer las siguientes líneas de este texto, cojas una taza con un buen café,  algo de papel y lápiz y que intentes tirar de imaginación y creatividad para solucionar este reto. Si tampoco te ves con ganas pero sientes curiosidad por saber como resolver este "acertijo" te animo a seguir leyendo, vamos a desgranar paso a paso este problema.

¿Estás preparado? Sí, pues vamos con ello.

EMBALDOSADOS NO PERIÓDICOS

Comenzaremos esta entrada con que es concretamente eso de "embaldosados no periódicos", una definición rápida podría ser: aquellos en que no existe un motivo mínimo que llene todo el plano por traslación.

Ejemplo de mosaico no períódico

Seguro que todos habéis escuchado alguna vez el término embaldosado o mosaico, ya lo usaban los romanos en sus villas hace más de 2.000 años o nosotros mismos para adornar el suelo del baño o la pared de la cocina, y ya, si lo retorcemos todo un poco más incluso en los cuadros de Escher (ahora mismo tenemos una exposición en Madrid). Sin embargo, todos estos ejemplos en los que nos hemos parado a pensar son mosaicos periódicos, o dicho de otro modo, existe una pieza que al repetirla y trasladarla a lo largo del plano es capaz de rellenar todo el espacio.

Cuadro de Escher

Parece que construir un mosaico no periódico es una tarea más complicada de lo que nos podríamos imaginar en un principio y de hecho, hasta la década de los sesenta y los setenta constituyó un auténtico reto para el pensamiento matemático. La primera posibilidad que surgió para la construcción de este tipo de embaldosados fue la que se denomina como mosaicos radicales, y a diferencia de lo que sería el pensamiento lógico, solo necesitamos una pieza para conseguir nuestro propósito. Por ejemplo, con una baldosa que sea un triángulo isósceles se dibuja un polígono regular uniendo varios triángulos y tras esto se corta por la mitad y se desplaza hacia la izquierda obteniendo como resultado una pavimentación no periódica.

Si lo cortamos y lo desplazamos a la izquierda obtenemos nuestro mosaíco

Tras resolver el reto del embaldosado no periódico los matemáticos se propusieron conseguir un conjunto de teselas que dieran exclusivamente mosaicos no periódicos (obviamente el triángulo isósceles no era uno de ellos). Al principio, solo se encontraban casos que necesitaban gran cantidad de losetas distintas, hasta que en 1971, el norteamericano Raphael Mitchel Robinson encontrará un conjunto que solo necesitaba de seis polígonos distintos.

Teselas de Robinson

Pero a Robinson le duró poco tiempo el récord establecido puesto que Roger Penrose consiguió bajarlo a cuatro baldosas en 1973 y a dos un año después. Sí, DOS SIMPLES TESELAS, que, ¡adivinad!, están estrechamente relacionadas con el número áureo, como todo lo que es "excepcional" en matemáticas. Estos dos ladrillos se llaman Cometa y Flecha y al unirse forman un rombo de lado 1 y ángulos 72º y 108º (ángulos áureos por excelencia). 

Cometa y Flecha y sus proporciones

Si queremos también podríamos formar pavimentaciones periódicas con estas teselas al rellenar el espacio con rombos. Para arreglar esto podemos nombrar los vértices con dos letras (A y B) y exigir que al juntar los lados solo se puedan poner en contacto vértices con el mismo nombre (misma letra).

Nombres de los vértices

Así nos encontramos con multitud de mosaicos no periódicos que pueden ser generados a partir de estas pieza y que (seguramente gracias al número áureo) presentan una excepcional belleza.

Ejemplo de mosaico de Penrose

Esta entrada participa en la Edición 8.4 “Matemáticas de todos y para todos” del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es, en esta ocasión, matematicascercanas.

Con respecto a las fotos expuestas en la entrada han sido cogidas de varios blogs:

• La primera de Mago Moebius en: http://www.polifieltros3d.com/p/mosaicos-pentagonales-3d.html 
• La última en: http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/mosa7.htm