tag:blogger.com,1999:blog-64275083602963663222024-03-15T21:54:21.322+01:00Matemático SorianoAlejandro Fernández Jiménezhttp://www.blogger.com/profile/04620407736611495189noreply@blogger.comBlogger331125tag:blogger.com,1999:blog-6427508360296366322.post-36284174929573873422022-03-27T21:11:00.008+02:002022-03-30T13:01:44.674+02:00ONDÍCULAS<p style="text-align: justify;">"Yves Meyer (francés), Ingrid Daubechies (belga y estadounidense), Terence Tao (australiano y estadounidense) y Emmanuel Candès (francés) han realizado contribuciones pioneras y trascendentales a las teorías y técnicas modernas del procesamiento matemático de datos y señales. Estas son base y soporte de la era digital -al permitir comprimir archivos sin apenas pérdida de resolución-, de la imagen y el diagnóstico médicos -al permitir reconstruir imágenes precisas a partir de un reducido número de datos- y de la ingeniería y la investigación científica -al eliminar interferencias y ruido de fondo-.''</p><p style="text-align: justify;">Así reza el comunicado de la <i>Fundación Princesa de Asturias</i> por el cuál se concedió el <b>Premio Princesa de Asturias de Investigación Científica y Técnica 2020</b> a los matemáticos Yves Meyer (doctor honoris causa por la UAM), Ingrid Daubechies, Terence Tao y Emmanuel Candès. Todo un hito para esta disciplina.</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgMKu_XUvMAjNfkBnSknnUisfRQxu-5Avw7NnfX8WA3eUslUnOlyCOervSxFu1ETmwwZVbeUQRa5EFV1fGh-CJj8H0CaR0Wo2FJuX8ZPEg0A-Vh15yDk2m7U-WSKiaxj0kws1BGV3GWmhwzgplIbz06u6dzAHA5Lox-8meIYUwwXnF1szBq9c8SZPV96A/s835/Premiados.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="315" data-original-width="835" height="151" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgMKu_XUvMAjNfkBnSknnUisfRQxu-5Avw7NnfX8WA3eUslUnOlyCOervSxFu1ETmwwZVbeUQRa5EFV1fGh-CJj8H0CaR0Wo2FJuX8ZPEg0A-Vh15yDk2m7U-WSKiaxj0kws1BGV3GWmhwzgplIbz06u6dzAHA5Lox-8meIYUwwXnF1szBq9c8SZPV96A/w400-h151/Premiados.png" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><i style="text-align: justify;">Fotografía los premiados tomada de la Fundación Princesa de Asturias. De izquierda a derecha, Meyer, Daubechies, Tao y Candès.</i></td></tr></tbody></table><p style="text-align: justify;">Pero, ¿qué hicieron exactamente? Bien, la respuesta tiene que ver con algo conocido como <b>teoría de ondículas</b>, muy importantes porque consiguen dividir imágenes y sonidos en obetos matemáticos más pequeños y manejables pero manteniendo los detalles en gran detalle, eliminando ruidos e interferencias, comprimiendo sin apenas pérdida de calidad.</p><p style="text-align: justify;">Los pioneros fueron Meyer y Daubechies (las ondículas ya le sirvieron a Meyer en 2017 para ganar el Premio Abel), y más adelante Tao y Candès completaron su trabajo con estudios relacionados con la teoría del <i>compressed sensing</i>, que permite la reconstrucción eficiente de datos dispersos basados en muy pocas mediciones. Las aplicaciones son muchas y de gran relevancia para nuestra vida cotidiana, como por ejemplo procesamiento de imágenes, reconocimiento de voz, múltiples campos de la medicina, geofísica o astrofísica entre otros. Por todo esto, queremos que este breve artículo te introduzca a una de las ramas de las matemáticas de mayor actualidad.</p><span><a name='more'></a></span><p style="text-align: center;"><b><br />El descubrimiento.</b></p><p style="text-align: justify;">La historia del origen de estos artefactos matemáticos es cuanto menos curiosa. Yves Meyer estaba esperando a que uno de sus colegas de la École Polytechnique terminara de fotocopiar un artículo de Jean Morlet y Alex Grossmann (de Marsella) sobre una nueva técnica para descomponer las señales sísmicas complejas registradas en los terremtos. Meyer cogió una copia de este artículo y se percató de que contenía elementos similares a teorías de descomposición de funciones de Análisis Armónico (su rama de especialización en ese momento). Ese mismo día, tomó el tren a Marsella para conocer a los autores y a partir de ahí el resto es historia, las ondículas, resultado final de esta intrigante anécdota, se convirtieron en una teoría que ha inspirado muchos trabajos de matemáticos, físicos e ingenieros durante los últimos años.</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjINLnxAJoBvWmj6nOFhnINXLhfwGpdL5x0R5hoW9vlll1T-DiXMSxXwSTbixyFS9ZRNlERSaOTkhVqS7xYTe12RNN0LgQfOW4sKiz8LXscCX0-56g7PYLSMku4uk7q_QO93mXzp-GiBQ_9eaF8iJRqP4Uzkli40eqqFhIoISzuLoZ7kEgPFRmiXU9ubg/s1108/Yves3.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="650" data-original-width="1108" height="235" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjINLnxAJoBvWmj6nOFhnINXLhfwGpdL5x0R5hoW9vlll1T-DiXMSxXwSTbixyFS9ZRNlERSaOTkhVqS7xYTe12RNN0LgQfOW4sKiz8LXscCX0-56g7PYLSMku4uk7q_QO93mXzp-GiBQ_9eaF8iJRqP4Uzkli40eqqFhIoISzuLoZ7kEgPFRmiXU9ubg/w400-h235/Yves3.jpg" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="text-align: justify;"><i>Acto de investidura de Yves Meyer como Doctor Honoris Causa en la Universidad Autónoma de Madrid, el 6 de junio del año 1997. De izquierda a derecha, Adolfo Quirós, Julián de la Horra, José García-Cuerva, Ireneo Peral, Alberto Pedro Calderón, Antonio Córdoba, Yves Meyer, Miguel de Guzmán y Santiago Carrillo. Fotografía cedida por el Departamento de Matemáticas de la UAM.</i></span></td></tr></tbody></table><p style="text-align: justify;">Bien, la historieta está muy chula y sirve para introducir el tema, pero, <b>¿no te estás preguntando qué son exactamente estos bichos?</b> Sobre esto, seguro que has oído hablar en algún momento de las series de Fourier (y si no, no pasa nada porque te lo explicamos aquí). </p><p style="text-align: justify;">La idea principal detrás de las series de Fourier es aproximar funciones por medio de senos y cosenos. Es muy fácil, coge una función $f$ periódica con periodo $T$, esto quiere decir que $f(x) = f(x+T)$ para todo $x$ real, cualquiera nos sirve -en esencia, Fourier estudia funciones en un ``trozo'' de la recta real, para aplicar Fourier repites el ``trozo'' por toda la recta real y ya estaría-. </p><p style="text-align: justify;">Tomemos la serie $s_N$ formada por los elementos</p><p style="text-align: center;">$s_N (t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^N \left[ a_n \cos \left(\frac{2n \pi}{T}t \right) + b_n \sin \left( \frac{2n \pi}{T} t \right) \right]$,</p><p style="text-align: justify;">con</p><p style="text-align: center;">$a_0 = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \, dt$, </p><p style="text-align: justify;">y</p><p style="text-align: center;">$a_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \cos \left(\frac{2n \pi}{T}t \right) \, dt, $</p><p style="text-align: center;">$b_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \sin \left(\frac{2n \pi}{T}t \right) \, dt$,</p><p style="text-align: justify;">llamados los coeficientes de Fourier. Si tomamos límite en $N$, se tiene que para casi todo punto, se satisface</p><p style="text-align: center;">$\lim_{N \to \infty} s_N(t) = f(t)$.</p><p style="text-align: justify;">(Se necesitan algunas condiciones extra sobre $f$, $f \in L^2$, algo que escapa de las pretensiones de este texto pero, que no cunda el pánico, no es una condición muy exigente). Pero, claro, ahora seguramente te estarás preguntando (y con muy buen criterio, todo sea dicho): "Muy bien, pero, ¿y esto para qué?, si ya tengo una expresión de $f$ para qué quiero otra más complicada''.</p><p style="text-align: justify;">$s_N$ converge a $f$ en casi todo punto, es decir, cuanto más grande sea $N$ (y más coeficientes de Fourier usemos), más se parecerá $s_N$ a $f$. Esto es importante sobre todo para almacenar funciones y trabajar con ellas computacionalmente de forma mucho más eficiente. En vez de tener que guardar el valor de la función en los puntos, basta con que guardemos un puñado de puntos para tener una muy buena aproximación de $f$ con la que poder trabajar, y por ende, consumimos mucha menos memoria del ordenador.</p><p style="text-align: justify;">El problema es que el diablo vive en los pequeños detalles, y esta no es una excepción, por desgracia... Que $s_N$ converja a $f$ no nos dice nada sobre la velocidad de esta, puede que tengamos una aproximación decente de $f$ para $N=10$ o que tengamos que esperar hasta $N=1.000.000.000.000$, y claro, si tenemos que esperar hasta coeficientes tan altos, esta idea tan maravillosa de Fourier se vuelve incapaz de ayudarnos con el almacenaje de datos. </p><p style="text-align: justify;">En particular, <b>las series de Fourier, son sumas de senos y cosenos, funciones "demasiado suaves''</b>, es decir, muy redonditas y muy poco abruptas. Por esta suavidad "excesiva'', cuando las funciones tienen algún punto muy "picudo'', se necesitan demasiados pasos hasta que la serie de Fourier da aproximaciones decentes de $f$ (el ruido del que hablábamos al principio del texto, y que, desgraciadamente, las series de Fourier eliminan porque aproximan con senos y cosenos superpuestos).</p><p style="text-align: justify;">La pregunta clave que surge ahora después de todos estos razonamientos es la siguiente, s<b>i cambiamos el tipo de curvas y en vez de usar senos y cosenos recurrimos a otras, ¿podríamos corregir este inconveniente?</b></p><p style="text-align: justify;">Las ondículas pretenden dar la solución. En la década de los 80s Meyer construyó el primer ejemplo de ondículas no-triviales, continuamente diferenciables. Dos años después, Daubechies consiguió describir una familia de ondículas que formaban una base de funciones ortonormales con soporte compacto, o en cristiano, la matemática si no hizo magia, poco le quedó. Resultados muy elegantes, que constituyen el pilar de las ondículas hoy en día y que consiguen la solución al problema que planteábamos.</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiTtMSV2tFgcThhhH8D9IJG0wsBmXubyzGd3Oy0aLBz_8xJby6YowUezwWWyxbmvk4XmmoGAsdbPmz2KD2iKD0S1cRC_dMa4lhKeKBgyuKsLvuMPRVpaGAjE77fRmdiWwes5X8EcRdLvCr2jGURSKSquMrgpTctjVoEkIYUpo7o3fdI1xI3iwygAwGw3w/s461/Dbn.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="184" data-original-width="461" height="160" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiTtMSV2tFgcThhhH8D9IJG0wsBmXubyzGd3Oy0aLBz_8xJby6YowUezwWWyxbmvk4XmmoGAsdbPmz2KD2iKD0S1cRC_dMa4lhKeKBgyuKsLvuMPRVpaGAjE77fRmdiWwes5X8EcRdLvCr2jGURSKSquMrgpTctjVoEkIYUpo7o3fdI1xI3iwygAwGw3w/w400-h160/Dbn.png" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><i style="text-align: justify;">Familia de ondículas Daubechies $dbn$.</i></td></tr></tbody></table><p style="text-align: justify;">Por ejemplo, usando las ondículas de Daubechies $dbn$, dilatándolas y trasladándolas apropiadamente para que estas formen una base, un tecnicismo necesario para poder abarcar todo el rango de funciones que necesitamos, estaríamos expresando nuestra función como una serie que depende de los elementos $dbn$ y no de los $\cos \left( \frac{2n \pi}{T} t \right) + \sin \left( \frac{2n \pi}{T} t \right)$ como lo hace en Fourier. Con las $dbn$ nos referimos a la familia de curvas que se puede ver en la Figura anterior.</p><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: center;"><b>Compressed sensing.</b></p><p style="text-align: justify;">Al principio de este artículo decíamos que <b>la teoría de ondículas permitía dividir imágenes y sonidos en objetos matemáticos más manejables</b>. Esto se consigue gracias al <i>compressed sensing</i>, o muestreo comprimido, una de las aplicaciones más relevantes de las ondículas en nuestro día a día. </p><p style="text-align: justify;">Fruto de la colaboración entre Terence Tao y Emmanuel Candès (entre otros), durante la primera década del siglo XXI se produjo una revolución en las técnicas de tratamiento de datos y señales gracias al desarrollo del compressed sensing. Esta teoría es especialmente útil porque permite la reconstrucción eficiente de datos dispersos basados en muy pocas mediciones.</p><p style="text-align: justify;">En este artículo queremos explicar cómo funciona esta técnica. Para poder centrarnos en la idea que hay detrás de ella y no perdernos en los tecnicismos, vamos a tomar el ejemplo más sencillo, el de la cámara.</p><p style="text-align: justify;">El objetivo de una cámara es, por supuesto, hacer fotos. Ahora bien, es una práctica común que la cámara comprima la imagen. Por ejemplo, si el tamaño inicial de la fotografía es de $2$MB sería normal quedarse con algo que ocupe menos, por ejemplo $200$KB, que es un $10 \%$ del tamaño inicial. La cosa, o la clave detrás de esta idea es, que, mientras el espacio de <i>todas</i> las imágenes tiene un valor de $2$MB de "grados de libertad'', el espacio de todas las imágenes <i>interesantes</i> (las partes que contienen los detalles relevantes de la fotografía) es mucho más pequeño y puede almacenarse en un espacio mucho más pequeño si a uno no le importa perder un poco de calidad.</p><p style="text-align: justify;">No hace falta decir que existen varias formas de comprimir imágenes. Para comenzar a calentar podemos presentar una primera un poco "ingenua''. Supongamos que en nuestra foto encontramos un cuadrado monocromático muy grande, por ejemplo de $ 100 \times 100$ píxeles, que son de exactamente el mismo color. Si no hiciéramos ninguna compresión, usando una escala de grises $8$-bit, almacenar toda la información de este cuadrado requerirían $10000$ bytes, cuando, lo único que necesitas es almacenar la dimensión, la localización y el color usados (que es mucha menos información). Por supuesto, esta idea no nos sirve en la práctica ya que, por ejemplo, no consigue dar resultados satisfactorios para las transiciones abruptas entre dos colores. </p><p style="text-align: justify;">Desde luego, <b>este primer método queda lejos de ser ideal</b>, en realidad, para resolver este problema se ha llegado al consenso en la comunidad científica de que resulta que es mejor no trabajar usando el color medio de cada cuadradito, sino que <b>lo más óptimo es utilizar los <i>desequilibrios</i> medios</b>. En otras palabras, cuan más intensa es de media la mitad derecha del cuadradito en comparación con la mitad izquierda del mismo cuadradito. Y, esto se puede formalizar utilizando sistemas de ondículas, que nos permiten expresar una imagen como la superposición lineal de varias ondículas. En la práctica, se utilizan técnicas más complejas, pero esto es suficiente para entender las ideas detrás del compressed sensing.</p><p style="text-align: justify;">Visto esto, volvamos a nuestro ejemplo anterior, la imagen original tiene $2$ millones de grados de libertad, y, en particular si uno quiere expresar esta imagen en términos de ondículas, necesitaría $2$ millones de ondículas diferentes para poder reconstruirla perfectamente. No obstante, una imagen típica <i>interesante</i> es muy <i>dispersa</i> en una base de ondículas. Es muy posible que no necesitemos más de unas cien mil ondículas para poder capturar todas las características importantes de la imagen, y que el $1.9$ millón de ondículas restantes tan solo contribuyan a una pequeña cantidad de ruido aleatorio, invisible para la mayoría de los observadores.</p><p style="text-align: justify;">Ahora, si nosotros (o la cámara) supieramos cuáles son los $100$ mil coeficientes de las ondículas que vamos a utilizar, entonces la cámara podría simplemente medir el valor de solo esos coeficientes y ni siquiera molestarse en intentar obtener el resto. (Es posible medir un único coeficiente aplicando un filtro adecuado a la imagen y haciendo una medida de una única intensidad del resultado obtenido.) No obstante, la cámara no conoce a priori cuáles son los coeficientes claves, así que tiene que obtener los $2$ millones de píxeles, convertir la imagen a una base de ondículas, localizar los $100$ mil coeficientes dominantes, almacenarlos y desechar el resto. Este es el problema en el que las mates obran un pequeño milagro.</p><p style="text-align: justify;">Con esto en mente, la filosofía principal del <i>compressed sensing</i> es esta: <b>Si uno necesita solo $100.000$ coeficientes para recuperar la mayor parte de la imagen, ¿por qué no tomar solo $100.000$ medidas en lugar de $2$ millones?</b> (En la práctica tomaremos un margen de seguridad tomando por ejemplo $300.000$ medidas.) Claro, existe una dificultad evidente, tal y como decíamos antes, la cámara no sabe de antemano que cien mil coeficientes de los dos millones de coeficientes de ondículas son los importantes que se necesitan guardar. De esta forma, una pregunta que resulta muy interesante es saber qué pasa si seleccionas un conjunto completamente diferente de $100.000$ (o $300.000$) ondículas, ¿se perdería toda la información interesante en la imagen?</p><p style="text-align: justify;">La solución a esta pregunta son las dos cosas, simples y poco intuitivas. Esta es hacer $300.000$ medidas que no tengan nada que ver con la base de ondículas. La idea es generar medidas (pseudo-)<i>aleatorias</i>, generando al azar $300.000$ imágenes -"máscaras''- y midiendo hasta qué punto se parece la imagen con la que estamos trabajando a las máscaras. Ahora, estas medidas (o "correlaciones'') entre la imagen y las máscaras serán, con casi toda seguridad, muy pequeñas, y muy aleatorias. Pero, y esto es el punto clave, cada una de las $2$ millones de ondículas que comprimen la imagen generará su propia "firma'' distintiva dentro de estas medidas aleatorias, y, por tanto, (con una probabilidad desorbitadamente alta) cada una de las firmas será distinta. Además, resulta que la combinación lineal de hasta $100$ mil de estas firmas serán distintas (se puede entender desde una perspectiva del álgebra lineal, esto significa que dos subespacios de dimensión $100.000$ de un espacio de dimensión $300.000$ elegidos de forma aleatoria, serán casi siempre disjuntos). Por esto, en principio <b>es posible recuperar la imagen (o al menos sus $100.000$ componentes más importantes) a partir de estas $300.000$ medidas aleatorias</b>.</p><p style="text-align: justify;">En esencia, entender una imagen de $2$ millones de píxeles en una base de ondículas nos garantiza que eligiendo solo $300.000$ de estas de forma completamente aleatoria, $100.000$ de ellas nos permitirán recuperar la imagen con mucha precisión.</p><p style="text-align: justify;">Para recuperar la imagen evitando ruidos habrá que usar algunas técnicas de recuperación de algoritmos no triviales. Pero, eso ya es tela de otro costar, y quizás... Para otro día.</p><p style="text-align: justify;">Por último, puede ser interesante repasar algunas de las aplicaciones de esta idea tan abstracta del compressed sensing (siempre es bonito cuando ves las matemáticas de la carrera aplicadas a nuestro día a día):</p><p style="text-align: justify;"></p><ul><li>Imagen por resonancia magnética: En medicina, una resonancia intenta recuperar una imagen (la densidad del agua en el cuerpo humano) a partir de un número grande, pero finito, de medidas. Por el número de medidas necesitadas, el proceso es lento para el paciente, y las técnicas de compressed sensing pueden reducir el número de medidas necesitadas significativamente, llevándonos a procesos más rápidos.</li><li>Astronomía: Muchos fenómenos astronómicos (por ejemplo los púlsar) tienen varias frecuencias de oscilación que los puede provocar que se dispersen o compriman mucho en distintos dominios de frecuencia. En este caso las técnicas de compressed sensing permiten medir estos fenómenos en el dominio temporal (a partir de datos del telescopio) consiguiendo reconstruir la señal original con precisión incluso a partir de datos incompletos o ruido.</li><li> Códigos lineales: En este caso el compressed sensing nos proporciona una método simple para combinar el output de varios transmisores de tal forma que si una fracción importante del output se pierde o se daña, todavía podamos recuperar la transmisión original.</li></ul><p></p><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;">Esta entrada es un artículo que escribí como parte del primer número de la revista <a href="https://matematicas.uam.es/~qed/" target="_blank">QED</a>, una iniciativa de alumnos y ex-alumnos en matemáticas de la Universidad Autónoma de Madrid. Lo mejor de todo es que esta es gratuita y de acceso libre para todo el mundo <a href="https://matematicas.uam.es/~qed/revista.html#Ediciones" target="_blank">aquí</a>. Así que si te ha gustado no lo dudes más y ve a leer el resto de la revista. ¡Seguro que te encantará!</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjm0MzkNSAP3IZpY06B4Fj8pBp9GQXAlek3gfD-3_UQNIu6S7QGTL6Nga65Q2Dpaab1xUngmdVkpVs56yr8pN5eVHrMxTSP784szO_U9Vl_Jwls2gtiHYgwVInf-_jq-zXPbXSlnJAnz3hoDwG1NbUZgZEOsFFD8UCPomQ6jgr0qM00VedsYxa0ZfR4Zw/s893/Captura.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="893" data-original-width="631" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjm0MzkNSAP3IZpY06B4Fj8pBp9GQXAlek3gfD-3_UQNIu6S7QGTL6Nga65Q2Dpaab1xUngmdVkpVs56yr8pN5eVHrMxTSP784szO_U9Vl_Jwls2gtiHYgwVInf-_jq-zXPbXSlnJAnz3hoDwG1NbUZgZEOsFFD8UCPomQ6jgr0qM00VedsYxa0ZfR4Zw/w283-h400/Captura.jpg" width="283" /></a></div><br /><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;"></p><blockquote>Este post forma parte del <a href="https://carnavaldematematicas.wordpress.com/" target="_blank">Carnaval de Matemáticas</a>, que en esta nonagésima octava edición, también denominada 13.1, está organizado por Rafael Martínez González a través de su blog <a href="https://elmundoderafalillo.blogspot.com/" target="_blank">El mundo de Rafalillo</a>.</blockquote><p></p>Alejandro Fernández Jiménezhttp://www.blogger.com/profile/04620407736611495189noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-6427508360296366322.post-27104902585878232392021-12-12T23:48:00.010+01:002021-12-21T13:47:15.092+01:00EL ARTE DE DOMAR EL VIENTO<p style="text-align: justify;">Últimamente este blog ha estado bastante inactivo, afortunadamente hacía bastante tiempo desde la última vez que pasaron más de dos meses entre dos entradas. Este fin de año, no me ha quedado más remedio que hacer un pequeño parón. Me he mudado de ciudad, con todo lo que ello conlleva y eso ha provocado que decaiga mi actividad en las redes a casi cero. Pero... No todas las noticias son malas, pues la entrada de hoy la estoy escribiendo a partir de cosas que he aprendido por estos nuevos lares.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh2DAXxM0gtXQOUWZ3I-rKsL2HEayh1aDTmu4sDVZJ7Xx7O5wEDw9p78UOwzDTnVKSS-Pbe76j1zPXkgguTf7Me960tqsKFPx5XxRtxAniF9gDTc5lSoc5j_oCLXMEbZRf3sWJU0JPRmkdP/s1056/Captura.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="502" data-original-width="1056" height="190" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh2DAXxM0gtXQOUWZ3I-rKsL2HEayh1aDTmu4sDVZJ7Xx7O5wEDw9p78UOwzDTnVKSS-Pbe76j1zPXkgguTf7Me960tqsKFPx5XxRtxAniF9gDTc5lSoc5j_oCLXMEbZRf3sWJU0JPRmkdP/w400-h190/Captura.png" width="400" /></a></div><br /><p style="text-align: justify;">Comencemos con la historia, a mediados de febrero recibí una oferta para trabajar como alumno de doctorado en la Universidad de Oxford bajo la supervisión del <a href="http://people.maths.ox.ac.uk/carrillo/ResearchGroup/members.html" target="_blank">Prof. José Antonio Carrillo</a>. Hasta ahí la primera parte de la historia, ahora viene la que nos atañe para el caso particular de hoy. Siempre he sido un fan acérrimo de la Fórmula 1, y aquí en la universidad de Oxford existe un club llamado "<a href="https://www.oxforduniracing.com/" target="_blank">Oxford University Racing</a>" en el que sus miembros se reúnen semanalmente para construir un coche eléctrico tipo fórmula con el que competir en Silverstone en julio. Así que no me lo pensé dos veces y me uní a él.</p><span></span><span><a name='more'></a></span><p style="text-align: justify;">En concreto, formo parte del equipo de simulaciones, a grandes rasgos queremos simular cuál es el rendimiento esperado de nuestro coche en el circuito del concurso, Silverstone, para poder optimizar las características de este. Por ejemplo, algo muy importante, es decidir de antemano como gestionar la batería eléctrica de la forma más óptima. Uno de los problemas más habituales en estas carreras es que los coches no consiguen acabarlas porque se quedan sin batería antes. Por supuesto, hay más cosas que estas simulaciones nos ayudan a entender, como se desgastan los neumáticas, elegir la trazada ideal para el circuito, decidir el reparto de pesos, etcétera. </p><p style="text-align: justify;">En mi caso concreto, estoy enrolado en un subproyecto que pretende <b>desarrollar un programa para entender la aerodinámica de nuestro coche</b>, a grandes rasgos como frena el viento nuestro coche según la situación en la que este se encuentre, e integrarlo en esta simulación de la que acabamos de hablar.</p><p style="text-align: justify;">¡Vamos a domar el viento! Con... ¿un ordenador?, y el viento es un fluido... <b>Por lo que el plan es usar CFD</b>, Computational Fluid Dynamics, o en español, Dinámica de fluidos computacionales. Tiene sentido, ¿no? Pero... antes, paso a paso, después este es un blog de matemáticas, habrá que preguntarse, ¿qué es lo que estamos haciendo?</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEgonAtfNX_EnyaChsDGs2iI3icc8h1l_Z-UHkEkm-Vdu057AMCdaCyaJm4G1Fh-2t9CmzPQ7_Fkn_-18Iy319M7k_ZWR83-eq3F_ReDBJo-uQV6IPymRtfotMWuFp5dHmgHgD4aZDHfmd2mj0QV2NKUCiDpuRQ27JQ3qozgjSXKVnTVR_VOBRt0LTEByg=s1000" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="662" data-original-width="1000" height="265" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEgonAtfNX_EnyaChsDGs2iI3icc8h1l_Z-UHkEkm-Vdu057AMCdaCyaJm4G1Fh-2t9CmzPQ7_Fkn_-18Iy319M7k_ZWR83-eq3F_ReDBJo-uQV6IPymRtfotMWuFp5dHmgHgD4aZDHfmd2mj0QV2NKUCiDpuRQ27JQ3qozgjSXKVnTVR_VOBRt0LTEByg=w400-h265" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><i>Líneas de flujo que produce el coche. <a href="https://theansweris27.com/formula-student-aerodynamics/" target="_blank">Fotografía de theansweris27.com</a>.</i></td></tr></tbody></table><p style="text-align: justify;">Las ecuaciones detrás del estudio de fluidos son en verdad bastante famosas. Si te digo ecuaciones de Navier-Stokes, probablemente, este par de nombres no te digan nada. Pero, si te digo que estas son la esencia de uno de los 7 problemas de un millón de dólares, seguramente te suenen más.</p><p style="text-align: justify;">En lenguaje matemático moderno estas se enuncian de la siguiente forma</p><p style="text-align: center;">$\frac{\partial u(x,t)}{\partial t} + u(x,t) \cdot \nabla u (x,t) = - \frac{\nabla P }{\rho} + \nu \nabla^2 u (x,t)$,</p><p style="text-align: justify;">donde $u$ representa la velocidad del fluido en un punto $x$ y para un tiempo $t$, $P$ es la presión del fluido, $\rho$ su densidad y $\nu$ su viscosidad. </p><p style="text-align: justify;">La parte de la izquierda representa lo que se conoce como derivada material. A grosso modo, la derivada material sigue la evolución de cada una de las partículas del fluido. El término de la derecha describe las leyes por las que se rigen los movimientos de las partículas.</p><p style="text-align: justify;">$-\nabla P$ relaciona la velocidad del fluido con la diferencia de presión entre dos puntos, mientras que el término de viscosidad $\nu \nabla^2 u$ modeliza una difusión, que "frena" el fluido.</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEiRMwX4qLYRuC8eCom_CVaHIDjyOKuOvQ-727meVgMPPEK1hfNHD1QGnWUPgf7bFrI-XDI79LqOG5T33IfQP4OB1OhxbYer11m1vy1Zkmnlf_7QHwJm0uWTV1tRgyn3XyKLBkHnZzFOqG2kulPqbLjaPSV6I20pCTE6U3yGE67mkCf-vhhL_PZxJGo0SQ=s1276" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="957" data-original-width="1276" height="300" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEiRMwX4qLYRuC8eCom_CVaHIDjyOKuOvQ-727meVgMPPEK1hfNHD1QGnWUPgf7bFrI-XDI79LqOG5T33IfQP4OB1OhxbYer11m1vy1Zkmnlf_7QHwJm0uWTV1tRgyn3XyKLBkHnZzFOqG2kulPqbLjaPSV6I20pCTE6U3yGE67mkCf-vhhL_PZxJGo0SQ=w400-h300" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><i>La ecuación de Navier-Stokes. <a href="https://www.comsol.com/multiphysics/navier-stokes-equations" target="_blank">Fotografía tomada de Comsol</a>.</i></td></tr></tbody></table><p style="text-align: justify;">Como ya habrás podido imaginar, si este es uno de los problemas del millón de dólares, estará muy alejado de ser fácil. De cierta manera, este hecho es el que da sentido al desarrollo del CFD, entender el comportamiento de un fluido es realmente útil pero nuestra sociedad todavía no ha desarrollado las herramientas matemáticas necesarias para poder estudiarlas adecuadamente. Por ello, no nos queda más remedio que intentar entender el problema desde otro ángulo. El auge de los ordenadores durante estos últimos años, los convierte en una alternativa razonable, nunca estaremos seguros de que los resultados son completamente fiables hasta que tengamos suficientes conocimientos matemáticos, pero, de momento, funcionan razonablemente bien. </p><p style="text-align: justify;">Bien, una vez entendidas más o menos las mates que hay detrás queremos que el método numérico sea lo más sencillo posible. En nuestro proyecto, usamos una técnica conocida como el método de elementos finitos para calcular la resistencia al aire y el efecto de downforce (o "cuanto se pega al suelo") de nuestro coche. </p><p style="text-align: justify;">Primero, discretizamos el dominio en un conjunto finito de volúmenes de control. En este caso con dominio nos referimos a la carrocería del coche, y con discretizar queremos decir que estamos dibujando una aproximación con polígonos de lo que sería la carrocería real (cuanto más pequeños sean los polígonos más acertada será la aproximación), normalmente triángulos, como en este ejemplo en el que se discretiza un Fórmula 1.</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEiHAKdYahAxY6pTigBiwbUufJ5VnybrgpwMiT3CZJ1xJjDpwR7S4ttsH1qZGFWwQaGl95PUuPNuij1dD0z7D7MOcDhv7CMpcB6vmL8iAl_Z1hMpLQUnUTXWGCbc79x_F2Qafv7anPdcstXLAlqGQJfDUbHpcS8A_R4WVY93eAU9lch_HquDu4V-v6jy7g=s850" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="593" data-original-width="850" height="279" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEiHAKdYahAxY6pTigBiwbUufJ5VnybrgpwMiT3CZJ1xJjDpwR7S4ttsH1qZGFWwQaGl95PUuPNuij1dD0z7D7MOcDhv7CMpcB6vmL8iAl_Z1hMpLQUnUTXWGCbc79x_F2Qafv7anPdcstXLAlqGQJfDUbHpcS8A_R4WVY93eAU9lch_HquDu4V-v6jy7g=w400-h279" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><i>Triangulación de un coche de Fórmula 1. <a href="https://www.researchgate.net/publication/275271188_Contribution_to_the_Fluid-Structure_Interaction_Analysis_of_Ultra-Lightweight_Structures_using_an_Embedded_Approach" target="_blank">Fotografía de Wolf et al.</a></i></td></tr></tbody></table><p style="text-align: justify;">La idea es resolver las ecuaciones en cada uno de los triangulitos. Esto sigue siendo muy complicado, así que lo que vamos a hacer es discretizar la ecuación en cada triangulito en un sistema de ecuaciones algebraicas, de esos facilones que estabas haciendo todo el día en el instituto. Por supuesto, esto no es completamente exacto, pero haciéndolo en triángulos pequeños y no todo el dominio de una vez hace que el error sea muchísimo menor (incluso aceptable), al final, <b>solo hay que resolver un sistema de ecuaciones monstruosamente grande</b>, que para un ordenador no es ningún problema.</p><p style="text-align: justify;">Claro esta, no he contado toda la historia, quedan varios detalles. Por ejemplo, no hemos dicho nada sobre como "se discretizan las ecuaciones". Esto se suele hacer suponiendo que conoces alguna información sobre la solución (por ejemplo un dato inicial con el que arrancar o algo por el estilo), discretizas/simplificas la ecuación y das a la manivela para usar toda la maquinaria que hemos descrito. Esto, concluye dándote más información sobre la solución a partir de este dato inicial del que arrancabas, algo que se parece más a lo que debería ser la solución real. Repitiéndolo varias veces nos vamos acercando más y más, siendo ese el juego. Una vez decidido el criterio de convergencia que vamos a usar y el error que queremos satisfacer todo queda a merced de la capacidad de nuestro ordenador.</p><p style="text-align: justify;">Por supuesto, esto se podría alargar muchísimo más. Hay personas que dedican toda su vida investigadora a estudiar métodos numéricos y siempre podemos indagar un poco más en los detalles. Pero, espero que con esto sea suficiente para entender a que nos dedicamos en este pequeño equipo de la Universidad de Oxford, seguro que mis periplos en el equipo volverán a aparecer por este blog.</p><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;"></p><blockquote style="text-align: justify;">Esta entrada participa en la <a href="https://verso.mat.uam.es/~qed/carnamat.html" target="_blank">Edición 12.4: "Quod Erat Demonstrandum"</a> del Carnaval de Matemáticas, organizado en esta ocasión por la Asociación de Estudiantes <a href="https://verso.mat.uam.es/~qed/index.html" target="_blank">QED</a>.</blockquote><p> </p><p style="text-align: justify;">Por cierto, no sé si ya lo sabías, pero QED es una asociación de algunos matemáticos que hemos pasado por la Universidad Autónoma de Madrid. La idea de la asociación es publicar un par de revistas de matemáticas en un tono de divulgación, pensada para todo aquel al que le gustan las matemáticas, tanto en formato en papel, como online en la página web de la asociación. El primer número va a salir este mes de diciembre, ¿te lo vas a perder? </p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEi73TL8jqrNMvSUzbEYAZrGpw1cyMybNkG05Q5cQF7YcUebvtUwpyE0W7NnsGVen0qEkwUhk1T33M3p8UI-Pc9FjvC29pD4Wk2ut_fDjuNRTtsEjzHTE0HKfafc1PT5gyoC6_nm9ZD0lyV2ZPUIJA88ZzzkEG-Q8RsiFMMLEYayk6jSK4oSBn67LEoeGg=s884" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="328" data-original-width="884" height="149" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEi73TL8jqrNMvSUzbEYAZrGpw1cyMybNkG05Q5cQF7YcUebvtUwpyE0W7NnsGVen0qEkwUhk1T33M3p8UI-Pc9FjvC29pD4Wk2ut_fDjuNRTtsEjzHTE0HKfafc1PT5gyoC6_nm9ZD0lyV2ZPUIJA88ZzzkEG-Q8RsiFMMLEYayk6jSK4oSBn67LEoeGg=w400-h149" width="400" /></a></div>Alejandro Fernández Jiménezhttp://www.blogger.com/profile/04620407736611495189noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-6427508360296366322.post-46715317981081914782021-09-28T10:00:00.001+02:002021-09-28T10:00:00.188+02:00ACERTIJO 129 - RANAS VERDES Y AZULES<p style="text-align: justify;">En una isla las ranas son siempre verdes o azules. El número de ranas azules aumenta el 60%, mientras que el de ranas verdes decrece un 60%. Sucede entonces que la nueva razón de ranas azules a verdes es la misma que la que antes había de ranas verdes a azules. ¿En qué porcentaje ha cambiado el número total de ranas?</p><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;">La solución como siempre algo más abajo.</p><span><a name='more'></a></span><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;">SOLUCIÓN:</p><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;"><br /></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfSZ4Squnk7OKBul25s1JMMz-CfPERZf48QJX3VaIXQopCqC0gJFOTdpYLiKNsHBBJviXlorbY8A6wl623kZ1lvMpadYxZ-DA4qo-naDJlo1oSccY86ZDr83TulTcPcMnxutrwL0S54XTQ/s327/Captura.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="154" data-original-width="327" height="189" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfSZ4Squnk7OKBul25s1JMMz-CfPERZf48QJX3VaIXQopCqC0gJFOTdpYLiKNsHBBJviXlorbY8A6wl623kZ1lvMpadYxZ-DA4qo-naDJlo1oSccY86ZDr83TulTcPcMnxutrwL0S54XTQ/w400-h189/Captura.png" width="400" /></a></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div>El número total de ranas ha cambiado en un $20$%.Alejandro Fernández Jiménezhttp://www.blogger.com/profile/04620407736611495189noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-6427508360296366322.post-66430328265904859802021-09-26T10:00:00.002+02:002021-09-26T10:00:00.196+02:00ACERTIJO 128 - FRACCIONES ENTERAS<p style="text-align: justify;">Usando los números naturales de 1 a 22, ambos inclusive, Horacio quiere formar once fracciones, eligiendo uno de ellos como numerador y otro como denominador. Cada uno de los 22 números se usa exactamente una vez. ¿Cuál es el mayor número de las fracciones de Horacio que puede tener un valor entero?</p><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;">La solución como siempre algo más abajo.</p><span><a name='more'></a></span><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;">SOLUCIÓN:</p><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;"><br /></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfSZ4Squnk7OKBul25s1JMMz-CfPERZf48QJX3VaIXQopCqC0gJFOTdpYLiKNsHBBJviXlorbY8A6wl623kZ1lvMpadYxZ-DA4qo-naDJlo1oSccY86ZDr83TulTcPcMnxutrwL0S54XTQ/s327/Captura.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="154" data-original-width="327" height="189" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfSZ4Squnk7OKBul25s1JMMz-CfPERZf48QJX3VaIXQopCqC0gJFOTdpYLiKNsHBBJviXlorbY8A6wl623kZ1lvMpadYxZ-DA4qo-naDJlo1oSccY86ZDr83TulTcPcMnxutrwL0S54XTQ/w400-h189/Captura.png" width="400" /></a></div><br /><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;">Horacio puede formar hasta $10$ fracciones enteras.</p>Alejandro Fernández Jiménezhttp://www.blogger.com/profile/04620407736611495189noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-6427508360296366322.post-89950873636628089522021-09-23T10:00:00.001+02:002021-09-23T10:00:00.199+02:00ACERTIJO 127 - LA ISLA MÁGICA<p style="text-align: justify;">En los bosques de la isla mágica hay tres clases de animales: leones, lobos y cabras. Los lobos pueden comer cabras, y los leones pueden comer lobos o cabras. Pero como la isla es mágica, si un lobo se come a una cabra, se convierte en león. Si un león se come una cabra, se convierte en lobo. Si un león se come un lobo, se convierte en cabra. Inicialmente hay $17$ cabras, $55$ lobos y $6$ leones. ¿Cuál es el mayor número posible de animales que quedan en la isla cuando ya no sea posible que se coman entre sí?</p><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;">La solución como siempre algo más abajo.</p><span><a name='more'></a></span><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;">SOLUCIÓN:</p><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;"><br /></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfSZ4Squnk7OKBul25s1JMMz-CfPERZf48QJX3VaIXQopCqC0gJFOTdpYLiKNsHBBJviXlorbY8A6wl623kZ1lvMpadYxZ-DA4qo-naDJlo1oSccY86ZDr83TulTcPcMnxutrwL0S54XTQ/s327/Captura.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="154" data-original-width="327" height="189" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfSZ4Squnk7OKBul25s1JMMz-CfPERZf48QJX3VaIXQopCqC0gJFOTdpYLiKNsHBBJviXlorbY8A6wl623kZ1lvMpadYxZ-DA4qo-naDJlo1oSccY86ZDr83TulTcPcMnxutrwL0S54XTQ/w400-h189/Captura.png" width="400" /></a></div><br /><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;">El mayor número posible de animales que quedan es $23$.</p>Alejandro Fernández Jiménezhttp://www.blogger.com/profile/04620407736611495189noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-6427508360296366322.post-59733776576719075372021-09-21T10:00:00.001+02:002021-09-21T10:00:00.201+02:00ACERTIJO 126 - CANGUROS DORADOS<p style="text-align: justify;">Tenemos $9$ canguros en el zoo, cuya piel es de color plata u oro. Cuando se juntan $3$ cualesquiera de ellos, la probabilidad de que ninguno sea plateado es $\frac{2}{3}$. ¿Cuántos canguros son dorados?</p><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;">La solución como siempre algo más abajo.</p><span><a name='more'></a></span><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;">SOLUCIÓN:</p><p style="text-align: justify;"><br /></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfSZ4Squnk7OKBul25s1JMMz-CfPERZf48QJX3VaIXQopCqC0gJFOTdpYLiKNsHBBJviXlorbY8A6wl623kZ1lvMpadYxZ-DA4qo-naDJlo1oSccY86ZDr83TulTcPcMnxutrwL0S54XTQ/s327/Captura.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="154" data-original-width="327" height="189" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfSZ4Squnk7OKBul25s1JMMz-CfPERZf48QJX3VaIXQopCqC0gJFOTdpYLiKNsHBBJviXlorbY8A6wl623kZ1lvMpadYxZ-DA4qo-naDJlo1oSccY86ZDr83TulTcPcMnxutrwL0S54XTQ/w400-h189/Captura.png" width="400" /></a></div><br /><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;">$8$ canguros son dorados.</p>Alejandro Fernández Jiménezhttp://www.blogger.com/profile/04620407736611495189noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-6427508360296366322.post-7153561282189736732021-09-20T10:00:00.003+02:002021-09-20T10:00:00.199+02:00ACERTIJO 125 - 10 CIFRAS, 1, 2 Y 3<p style="text-align: justify;">¿Cuántos números de diez cifras, formados únicamente con las cifras 1, 2 y 3, son tales que dos cifras consecutivas cualesquiera difieren en 1?</p><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;">La solución como siempre algo más abajo.</p><span><a name='more'></a></span><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;">SOLUCIÓN:</p><p style="text-align: justify;"><br /></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfSZ4Squnk7OKBul25s1JMMz-CfPERZf48QJX3VaIXQopCqC0gJFOTdpYLiKNsHBBJviXlorbY8A6wl623kZ1lvMpadYxZ-DA4qo-naDJlo1oSccY86ZDr83TulTcPcMnxutrwL0S54XTQ/s327/Captura.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="154" data-original-width="327" height="189" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfSZ4Squnk7OKBul25s1JMMz-CfPERZf48QJX3VaIXQopCqC0gJFOTdpYLiKNsHBBJviXlorbY8A6wl623kZ1lvMpadYxZ-DA4qo-naDJlo1oSccY86ZDr83TulTcPcMnxutrwL0S54XTQ/w400-h189/Captura.png" width="400" /></a></div><br /><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;">Son 64 números los que cumplen esas condiciones.</p>Alejandro Fernández Jiménezhttp://www.blogger.com/profile/04620407736611495189noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-6427508360296366322.post-57570306399801509942021-09-13T10:00:00.003+02:002021-09-16T12:15:39.954+02:00ACERTIJO 124 - CORREDORES MENTIROSOS<p style="text-align: justify;">En una carrera con 100 corredores, no hubo dos que llegaran al mismo tiempo y, al ser preguntados en qué lugar llegaron, respondieron con números que variaban de 1 a 100. Pero la suma de los números dados en esas respuestas fue 4000. ¿Cuál es el menor número posible de corredores que mintieron al ser preguntados?</p><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;">La solución como siempre algo más abajo.</p><span><a name='more'></a></span><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;">SOLUCIÓN:</p><p style="text-align: justify;"><br /></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfSZ4Squnk7OKBul25s1JMMz-CfPERZf48QJX3VaIXQopCqC0gJFOTdpYLiKNsHBBJviXlorbY8A6wl623kZ1lvMpadYxZ-DA4qo-naDJlo1oSccY86ZDr83TulTcPcMnxutrwL0S54XTQ/s327/Captura.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="154" data-original-width="327" height="189" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfSZ4Squnk7OKBul25s1JMMz-CfPERZf48QJX3VaIXQopCqC0gJFOTdpYLiKNsHBBJviXlorbY8A6wl623kZ1lvMpadYxZ-DA4qo-naDJlo1oSccY86ZDr83TulTcPcMnxutrwL0S54XTQ/w400-h189/Captura.png" width="400" /></a></div><br /><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;">Como mínimo mintieron $12$ corredores.</p>Alejandro Fernández Jiménezhttp://www.blogger.com/profile/04620407736611495189noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-6427508360296366322.post-88784267743026278192021-09-10T10:00:00.004+02:002021-09-16T12:15:54.260+02:00ACERTIJO 123 - LA CITA<p style="text-align: justify;">David y Petra acuerdan citarse en un sitio determinado entre las 12h y la 1h. Cada uno esperará al otro un cuarto de hora, y si el otro no llega, se irán. Se supone que cada uno llega al lugar de la cita con igual probabilidad durante ese margen de tiempo de una hora. La probabilidad de que se encuentren es:</p><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;">La solución como siempre algo más abajo.</p><span><a name='more'></a></span><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;">SOLUCIÓN:</p><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;"><br /></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfSZ4Squnk7OKBul25s1JMMz-CfPERZf48QJX3VaIXQopCqC0gJFOTdpYLiKNsHBBJviXlorbY8A6wl623kZ1lvMpadYxZ-DA4qo-naDJlo1oSccY86ZDr83TulTcPcMnxutrwL0S54XTQ/s327/Captura.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="154" data-original-width="327" height="189" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfSZ4Squnk7OKBul25s1JMMz-CfPERZf48QJX3VaIXQopCqC0gJFOTdpYLiKNsHBBJviXlorbY8A6wl623kZ1lvMpadYxZ-DA4qo-naDJlo1oSccY86ZDr83TulTcPcMnxutrwL0S54XTQ/w400-h189/Captura.png" width="400" /></a></div><div><br /></div><br /><p style="text-align: justify;">La probabilidad de que se encuentren es de $\frac{7}[16}$ (más de la mitad, no está mal...).</p>Alejandro Fernández Jiménezhttp://www.blogger.com/profile/04620407736611495189noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-6427508360296366322.post-65733449572623987622021-09-04T10:00:00.001+02:002021-09-04T10:00:00.187+02:00ACERTIJO 122 - TETRAEDROS Y ESFERAS<p style="text-align: justify;">Con $56$ esferas iguales formamos un montón en forma de tetraedro regular. ¿Cuántos puntos de tangencia hay entre las esferas del montón?</p><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;">La solución como siempre más abajo.</p><p style="text-align: justify;"><br /></p><span><a name='more'></a></span><p style="text-align: justify;">SOLUCIÓN:</p><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;"><br /></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfSZ4Squnk7OKBul25s1JMMz-CfPERZf48QJX3VaIXQopCqC0gJFOTdpYLiKNsHBBJviXlorbY8A6wl623kZ1lvMpadYxZ-DA4qo-naDJlo1oSccY86ZDr83TulTcPcMnxutrwL0S54XTQ/s327/Captura.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="154" data-original-width="327" height="189" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfSZ4Squnk7OKBul25s1JMMz-CfPERZf48QJX3VaIXQopCqC0gJFOTdpYLiKNsHBBJviXlorbY8A6wl623kZ1lvMpadYxZ-DA4qo-naDJlo1oSccY86ZDr83TulTcPcMnxutrwL0S54XTQ/w400-h189/Captura.png" width="400" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"><br /></div><br /><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;">Habrá 210 puntos de tangencia entre las esferas del montón.</p>Alejandro Fernández Jiménezhttp://www.blogger.com/profile/04620407736611495189noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-6427508360296366322.post-35876618049424796412021-09-01T10:00:00.001+02:002021-09-01T10:00:00.199+02:00ACERTIJO 121 - SOBRE MÁXIMO COMUNES DIVISORES<p style="text-align: justify;">Representamos por $mcd (x,y)$ al máximo común divisor de $x$ e $y$. ¿Cuántos pares $(x,y)$ de números enteros positivos satisfacen la ecuación $mcd(x,y) + mcd(x+1, y +1) = x-y$?</p><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;">La solución como siempre algo más abajo.</p><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;"><span></span></p><a name='more'></a>SOLUCIÓN:<p></p><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiIykANWuYDMpesS4-FwhcH3xxwl8WkUJNoCcRVnQW9odvNG4hRMvO27ZJoz7hiTVtlDBQYEHJc9jkKCsKPUX1L4E2-8GrqZkyc8dPMoSsvd5mqXAsHG03fZAyOU0AhfuVZmFM9HPQrv6R3/s327/Captura.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="154" data-original-width="327" height="189" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiIykANWuYDMpesS4-FwhcH3xxwl8WkUJNoCcRVnQW9odvNG4hRMvO27ZJoz7hiTVtlDBQYEHJc9jkKCsKPUX1L4E2-8GrqZkyc8dPMoSsvd5mqXAsHG03fZAyOU0AhfuVZmFM9HPQrv6R3/w400-h189/Captura.png" width="400" /></a></div><br /><br /><p></p><p style="text-align: justify;"> 0 pares. No existe ningún par que cumpla la ecuación descrita.</p>Alejandro Fernández Jiménezhttp://www.blogger.com/profile/04620407736611495189noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-6427508360296366322.post-79423159810345268482021-08-22T18:58:00.005+02:002021-08-22T19:01:31.864+02:00ENTREVISTA PARA LA 8 MAGAZINE SORIA<p style="text-align: justify;">Entrevista del miércoles 11 de agosto para el programa 8 MAGAZINE SORIA, de <a href="https://www.cyltv.es/La8Soria" target="_blank">La 8 Soria</a>. Una media hora en la que hablamos de mi medalla de plata en la <a href="https://www.imc-math.org.uk/" target="_blank">IMC 2021</a>, explico en que consisten las Olimpiadas. Repaso cuál será mi trabajo durante el mi estancia para el doctorado en la Universidad de Oxford, y doy mi opinión sobre el nuevo borrador del Gobierno y sobre el estado de la enseñanza en matemáticas en España. Desde el minuto 2:10 hasta el 26:50.</p><p><br /></p>
<div style="text-align: center;"><iframe allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture" allowfullscreen="" frameborder="0" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/mJ0WO6IRYEM?start=130" title="YouTube video player" width="560"></iframe></div>Alejandro Fernández Jiménezhttp://www.blogger.com/profile/04620407736611495189noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-6427508360296366322.post-88108501891853442172021-07-17T13:31:00.001+02:002021-07-17T13:33:03.872+02:00GAUDÍ Y LA CATENARIA<p style="text-align: justify;">Gaudí y la catenaria, la catenaria y Gaudí. Es difícil pensar en una sin recordar al otro y viceversa, la catenaria es una curva con unas propiedades excelentes para la arquitectura, muy famosa entre los matemáticos porque su estudio dio lugar a la creación del Cálculo de Variaciones - una rama muy importante de las matemáticas -, pero fue el genio catalán quién las popularizó como elemento arquitectónico, ideando métodos para su implementación e incorporación a distintas construcciones.</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhxAHakGbHdKMvx0mM26bilTJy89AIB4e36jk6h63FwGXCOBjc3xQl_5_AGLzoEHNrt8zDUUWJxlRymCs2_il5zA1JMAojClq9QxVNdlOr458YssvYqa5h21yyFx5OzBf4mqUPd0citL6d8/s833/Captura.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="833" data-original-width="625" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhxAHakGbHdKMvx0mM26bilTJy89AIB4e36jk6h63FwGXCOBjc3xQl_5_AGLzoEHNrt8zDUUWJxlRymCs2_il5zA1JMAojClq9QxVNdlOr458YssvYqa5h21yyFx5OzBf4mqUPd0citL6d8/w300-h400/Captura.jpg" width="300" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><i>Modelo colgante con pesos colocados estratégicamente por Gaudí para dibujar los planos de la Sagrada Familia. </i></td></tr></tbody></table><span></span><span><a name='more'></a></span><p style="text-align: justify;">Comencemos por lo básico, <b>¿qué es una catenaria?</b> Sencillo: Una catenaria describe a la curva que traza un cable o una cuerda cuando la sostienes por sus dos extremos y dejas que caiga por el efecto de la gravedad. Por cómo se define la catenaria (o <i>catena</i> en latín), vemos que cada punto de la curva está sometido a exactamente la misma fuerza, la de la gravedad. De esta forma, si la invertimos, análogamente a lo que ocurre con la cadena colgante, la cual, como acabamos de decir, distribuye de manera homogénea su peso, el arco que adopta la forma de una catenaria invertida reparte la comprensión del peso que soporta de forma totalmente homogénea a lo largo de la estructura. Por ello, esta forma es ideal para el arco sometido únicamente a su propio peso, ya que no necesitamos de elementos externos cuyo único fin sea el de reforzar la estructura. Un ejemplo muy revelador de esto es el del arco de Ctesifonte (en el actual Irak), construido en una fecha desconocida entre los siglos III y VI d.C. Contiene un enorme arco con forma de catenaria. Prácticamente toda la estructura ha sido derruida por el paso del tiempo pero el arco se sigue sosteniendo perfectamente por sí mismo sin necesidad de soportarse en elementos adicionales. Esto contribuye a explicar las <b>maravillosas propiedades mecánicas con las que cuenta la catenaria</b>.</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiDoC77Q3VwXE9jB-EZR4eFeUJjLUUjc7YWpIRbY_TqfL8pct3QCKTmYumNLDTc2_HTuHKYPkEBiMMgUIaTkz6LVpsJF_5Vi0XZNFSoA8BIuegalgD65ikIEhEGgVJQgJX7zo_qcayM8i6b/s1004/Captura.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="660" data-original-width="1004" height="263" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiDoC77Q3VwXE9jB-EZR4eFeUJjLUUjc7YWpIRbY_TqfL8pct3QCKTmYumNLDTc2_HTuHKYPkEBiMMgUIaTkz6LVpsJF_5Vi0XZNFSoA8BIuegalgD65ikIEhEGgVJQgJX7zo_qcayM8i6b/w400-h263/Captura.jpg" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><i>El arco de Ctesifonte (fotografía de </i>Karl Oppolzer<i>).</i></td></tr></tbody></table><br /><p style="text-align: justify;">La catenaria es la forma "correcta" de trazar un arco. Hacia 1670, Hooke intuía este principio afirmando:</p><blockquote><p style="text-align: justify;">Del mismo modo que cuelga un hilo flexible, así, pero invertido, se sostendrá el arco rígido.</p></blockquote><p style="text-align: justify;">Algunos años más tarde (en 1698), Gregory mejoraba el enunciado:</p><blockquote><p>Solo la catenaria [invertida] es la forma correcta de un arco. Y si arcos de otras formas se sostienen es porque en su espesor hay contenida una catenaria.</p></blockquote><p style="text-align: justify;">Esto es completamente cierto y se conoce como el <i>Primer Teorema del Análisis Límite</i>, pero hubo que esperar algo más de dos siglos hasta que Milankowitch lo demostrará de forma rigurosa.</p><p style="text-align: justify;"></p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjR80Vrmr1gvdvLTlifQCQXcCXgP3ptNd681VT5K26ZrLrBrETKK7XNhfuDr3utgKQK5XtjCCl8AAuBlbrdd8QIdUDOfgTPthvNauG6ez10ZSYl5IBHeSRLV9-uLEhZ2gwFVVXAoret1cgg/s474/Captura.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="233" data-original-width="474" height="196" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjR80Vrmr1gvdvLTlifQCQXcCXgP3ptNd681VT5K26ZrLrBrETKK7XNhfuDr3utgKQK5XtjCCl8AAuBlbrdd8QIdUDOfgTPthvNauG6ez10ZSYl5IBHeSRLV9-uLEhZ2gwFVVXAoret1cgg/w400-h196/Captura.png" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><i>Un arco cualquiera se sostiene si y solo si contiene a un arco catenario en su interior (</i>Manuel Cañete<i>).</i></td></tr></tbody></table><br />Tal y como evidencian estas afirmaciones, las buenas propiedades mecánicas de la catenaria eran conocidas desde el siglo XVII, y dibujarla resulta bastante sencillo (solo necesitamos dejar caer una cuerda y dibujarla). No obstante, los cálculos asociados al empleo de catenarias resultaban tediosos y complicados. Además, no fueron bien acogidas por la cultura occidental, quiénes preferían recurrir a arcos dibujados con regla y compás. Gaudí popularizó y explotó las propiedades estéticas y mecánicas de las catenarias, introduciendo con gran éxito en la arquitectura occidental los arcos no formados por segmentos de circunferencia.<p></p><p style="text-align: justify;">El arquitecto de Reus entendía que las construcciones debían surgir desde la estabilidad y no al revés, es decir, intentando eliminar toda clase de accesorios pensados simplemente para sostener la estructura. No trata de verificar la estabilidad de un cierto diseño; en su lugar, <b>trata de proyectar desde el principio con formas estables, llevando este intento hasta las últimas consecuencias</b>. Por eso, no es de extrañar que las catenarias fueran una de sus curvas favoritas (y que más veces empleo), por ejemplo, la Sagrada Familia contiene este objeto en varios lugares.</p><p style="text-align: justify;">El problema más habitual con el que tuvo que lidiar y que había frenado a sus posibles predecesores fue el de obtener la forma de un cable (o arco) que soporta un peso proporcional a la distancia vertical entre su directriz (la línea central en la estructura de un arco) y una cierta línea horizontal. No solía resolver este problema de manera directa, ya que matemáticamente conlleva bastantes dificultades. Normalmente empleaba métodos gráficos iterativos o modelos colgantes que, dadas las excelentes propiedades mecánicas de estas familias de curvas, eran más que suficientes para garantizar la estabilidad de las estructuras. Este tipo de herramientas le permitían realizar cálculos rápidos para variar el proyecto a voluntad, evitando los cálculos matemáticos, tediosos en aquella época por la falta de tecnología. Por ejemplo, en la construcción de la casa Milá, se replanteaban los arcos sobre la misma pared según los siguientes pasos:</p><p style="text-align: justify;"></p><ul><li>Se cuelga un cable simple.</li><li>Se calculan los pesos que actuarían sobre él, midiendo las distancias verticales y sumándole el peso del forjado.</li><li>Se añaden dichos pesos cambiando la forma del arco.</li><li>Se miden de nuevo las distancias verticales y se modifica el propio peso.</li><li>El cable sometido a esos pesos toma una forma muy aproximada a la solución exacta buscada.</li></ul><div>Quizás el método no sea tan exacto como los cálculos formales pero simplifica mucho su obtención y la aproximación es suficientemente buena como para cumplir el objetivo buscado. Este fue uno de los avances más importantes de Gaudí.</div><div><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhuM7elUVk-TFY4fY1j_eWFjLN-5UbdHcg8sslhJ3tw1_M41tRu4TrdhQc8zYDfG3hf1o2Zqf85bNGnDgAxQqsQy__wB3O1cKczJajA5J58XsVGnJMzIsHa3y6zS8B2GMEkWUS758ArSwK-/s640/Captura.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="436" data-original-width="640" height="272" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhuM7elUVk-TFY4fY1j_eWFjLN-5UbdHcg8sslhJ3tw1_M41tRu4TrdhQc8zYDfG3hf1o2Zqf85bNGnDgAxQqsQy__wB3O1cKczJajA5J58XsVGnJMzIsHa3y6zS8B2GMEkWUS758ArSwK-/w400-h272/Captura.jpg" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><i>Modelos de cables empleados en los proyectos de los arcos diafragma de la casa Milá (fotografía tomada del artículo </i>Consideraciones sobre la dimensión estructural de la obra de Antonio Gaudí, P. Roca <i>et al.).</i></td></tr></tbody></table><br /><div>Antonio Gaudí intentó reflejar sus novedosos resultados también en tres dimensiones. Tras sus investigaciones sobre el diseño de arcos, se plantea el problema más general de proyectar bóvedas. Enseguida se dio cuenta de que la única vía posible para crear sus proyectos era recurrir al empleo de modelos colgantes (probablemente fue el primero en aplicar esta técnica). <b>Modelos en los que al seccionar, iban a aparecer de forma natural las curvas de mayor equilibrio</b>.</div><div><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgmb2CclGeXFngFroceOI0IqbsHzIt_8ohqWd0gF6n4zO37zKTWFI6L_y_ZCrmUv-WRrO24eCUew4Yt1D2oQ8YdEAou0TUJz984oUBZEcyq4BoE6QSly4zB0bjHkbvcZpbH-t7IP0TDxera/s640/Captura.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="569" data-original-width="640" height="355" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgmb2CclGeXFngFroceOI0IqbsHzIt_8ohqWd0gF6n4zO37zKTWFI6L_y_ZCrmUv-WRrO24eCUew4Yt1D2oQ8YdEAou0TUJz984oUBZEcyq4BoE6QSly4zB0bjHkbvcZpbH-t7IP0TDxera/w400-h355/Captura.jpg" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><i>Modelo colgante (invertido) usado por Gaudí para dibujar los planos de la iglesia de Colonia Güell (Rafolds, 1929).</i></td></tr></tbody></table><br /><div>Gaudí fue desde luego un genio, creativo, original, arriesgado con sus diseños y un soplo de aire fresco. Ya, solo nos queda disfrutar con sus obras.</div><div><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjDYjGZ534rj4S7Jfc622rsSPAeTlwEUexjNlyld9_OY1fLFL699IfY_2We014w3L5n41iR2JKsb1YkOGxFfArLD195E5hUb-ehwnmAozRLmYQekhyphenhyphenDnCgI1BSWK6ZlDxEysbHJyTs8WpJ7/s811/Captura.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="811" data-original-width="640" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjDYjGZ534rj4S7Jfc622rsSPAeTlwEUexjNlyld9_OY1fLFL699IfY_2We014w3L5n41iR2JKsb1YkOGxFfArLD195E5hUb-ehwnmAozRLmYQekhyphenhyphenDnCgI1BSWK6ZlDxEysbHJyTs8WpJ7/w316-h400/Captura.jpg" width="316" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><i>Empleo de los arcos catenarios en la iglesia de Saint Martin en Donges, Francia (fotografía de </i>Fabrice Fouillet<i>).</i></td></tr></tbody></table><div><br /></div><p></p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhqw9OsDGvPLN6VvW8Hm3VYCAmkUIZSvK8nJKvOGLQa66oMTrBQ9cRVvvdM0DRK023WtfN8Q7nEJz71Fd-DNf07isKSbOBZUsT3AwHgfleLaEXji_6-ho4jOlkASVoDVG_HnUiHZmg8zQCo/s425/Captura.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="319" data-original-width="425" height="300" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhqw9OsDGvPLN6VvW8Hm3VYCAmkUIZSvK8nJKvOGLQa66oMTrBQ9cRVvvdM0DRK023WtfN8Q7nEJz71Fd-DNf07isKSbOBZUsT3AwHgfleLaEXji_6-ho4jOlkASVoDVG_HnUiHZmg8zQCo/w400-h300/Captura.jpg" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><i>Masia Freixa.</i></td></tr></tbody></table><blockquote><p> </p></blockquote><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg7WZt_d08WLI7kGv5kCuLQtp13rHUR3QNXNrcJ-6dugqtkKHfqFqEtMeYEpJd7YgkNjDtXHv0FslA77tpWiraoQbbCsSUNjUE6ak5L55d0OBemjgs08x7qDj3nnf8UmsQxUMwJjiYnUOU_/s750/Captura.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="600" data-original-width="750" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg7WZt_d08WLI7kGv5kCuLQtp13rHUR3QNXNrcJ-6dugqtkKHfqFqEtMeYEpJd7YgkNjDtXHv0FslA77tpWiraoQbbCsSUNjUE6ak5L55d0OBemjgs08x7qDj3nnf8UmsQxUMwJjiYnUOU_/w400-h320/Captura.jpg" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><i>La Sagrada Familia</i></td></tr></tbody></table><br /><div style="text-align: justify;">En esta entrada he intentado dar un pequeño sorbo sobre las "cosas especiales" que hizo Gaudí implementando la catenaria en sus obras. Si te has quedado con ganas de más, de aprender sobre la catenaria y sobre cómo la utilizó el genio catalán, he de decirte que este post no es más que un pequeño resumen de un artículo que escribí para la Gaceta de la RSME hace un año, titulado <i><a href="https://gaceta.rsme.es/abrir.php?id=1582" target="_blank">La catenaria y su influencia en la arquitectura de Gaudí</a> </i>que ya está disponible en la <a href="https://gaceta.rsme.es/index.php" target="_blank">página web de la Gaceta de la RSME</a> para que cualquiera que quiera pueda leerlo. </div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Si te ha gustado este artículo y quieres citarlo para alguno de tus trabajos, te pido que uses la siguiente referencia:</div><div style="text-align: justify;"><blockquote>A. Fernández, La catenaria y su influencia en la arquitectura de Gaudí, <i>Gac. R. Soc. Mat. Esp. </i><b>23</b> (2020), no. 2, 303-323.</blockquote></div>Alejandro Fernández Jiménezhttp://www.blogger.com/profile/04620407736611495189noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-6427508360296366322.post-89954687631694616102021-07-09T12:37:00.004+02:002021-07-13T19:52:18.260+02:00RETO (CAFÉ Y TEOREMAS) - ARCOTANGENTES<p style="text-align: justify;"> Decide si existen o no $15$ enteros $m_1$, $\cdots$, $m_{15}$ tales que</p><p style="text-align: center;">$\sum_{k=1}^{15} m_k \cdot \arctan (k) = \arctan (16)$ .<span style="text-align: right;"> </span></p><p style="text-align: right;">Problema de <i>Gerhard Woeginger, Eindhoven University of Technology.</i></p><p style="text-align: justify;"><span style="text-align: right;"><br /></span></p><p style="text-align: justify;"><span>Este problema es un </span><b>reto</b><span> de </span><a href="http://matematicosoriano.blogspot.com/" target="_blank">Matemático Soriano</a><span>. ¿No sabes qué son los retos? Lee la entrada </span><a href="http://matematicosoriano.blogspot.com/2020/03/nueva-seccion-retos-matematicos.html" target="_blank"><b>retos matemáticos</b></a><span>. La idea es debatir la solución de este problema en la sección de comentarios, seguro que tenemos una discusión llena de ideas maravillosas.</span></p><p style="text-align: justify;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEimTF3ul_BNLCphl49do20R9vN1FB5FiNSBKYwR4ayGMbrheah-KxL25WbHQ7dz-Tot4z8Q4uPilWPuVyLRy1ZMUxeppB1i3vk051QQl5ukJrsXhDk38MXRsyFqxrkOLTF1BtZ9Dh-pcZgq/s1556/Captura.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1556" data-original-width="1382" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEimTF3ul_BNLCphl49do20R9vN1FB5FiNSBKYwR4ayGMbrheah-KxL25WbHQ7dz-Tot4z8Q4uPilWPuVyLRy1ZMUxeppB1i3vk051QQl5ukJrsXhDk38MXRsyFqxrkOLTF1BtZ9Dh-pcZgq/s320/Captura.jpg" /></a></div><br /><span><br /></span><p></p>Alejandro Fernández Jiménezhttp://www.blogger.com/profile/04620407736611495189noreply@blogger.com6tag:blogger.com,1999:blog-6427508360296366322.post-48028126990210747892021-05-01T22:02:00.008+02:002021-07-19T20:50:19.559+02:00APROXIMANDO A PI POR RACIONALES<p style="text-align: justify;">Todos sabemos que el número $\pi$ es irracional, no puede ser expresado con una fracción exacta $\frac{p}{q}$ con $p$ y $q$ enteros. En concreto, esto implica que la expresión decimal de $\pi$ no se acaba nunca y no repite el mismo bloque de números una vez tras otra infinitamente; es decir, no es un decimal periódico.</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiibrdiLU2rN05StMH-lD-Bd0jetw5LyIgSu5hw3fJQVTXXj5m43pOazoMTcu6ja6egxbRDWFb1PFJi2LvkYr2Mr1zND-kGxdEWbuCmASR81UgJ14L3F2y7JywLi_CnP4LNlzzr8oSG7v5Z/s273/Captura.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="273" data-original-width="236" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiibrdiLU2rN05StMH-lD-Bd0jetw5LyIgSu5hw3fJQVTXXj5m43pOazoMTcu6ja6egxbRDWFb1PFJi2LvkYr2Mr1zND-kGxdEWbuCmASR81UgJ14L3F2y7JywLi_CnP4LNlzzr8oSG7v5Z/s0/Captura.jpg" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><i>Pi versión Picasso (<a href="https://www.pinterest.es/pin/382594930843931391/" target="_blank">fuente</a>)</i></td></tr></tbody></table><p style="text-align: justify;">No obstante, demostrar que $\pi$ es irracional no es algo tan sencillo. Pese a que este número se conoce desde los albores de la humanidad, pues $\pi$ se define de una forma muy simple y natural, es la relación entre el diámetro y el perímetro de una circunferencia, no se demostró hasta hace relativamente poco que es un número irracional. En 1768, Johann Lambert, un matemático alemán nacido en Francia, probó por primera vez lo que todos sospechaban, "el número $\pi$ es irracional". Pero, y hasta entonces, ¿qué se usaba? Por supuesto, aproximaciones racionales.</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEglq_N3q3HLlats0U27BrpX2w5nsdVlUT8LoVT3J6UB036x4C747zJc47VllMLwiuboGz4w7CE7CGsmuuG5B5H4c08TuktYDkRUrAHItuoTQiQa9XFhbGt54p-DDpZQ6wtRekZQhmC70fuk/s334/Captura.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="334" data-original-width="330" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEglq_N3q3HLlats0U27BrpX2w5nsdVlUT8LoVT3J6UB036x4C747zJc47VllMLwiuboGz4w7CE7CGsmuuG5B5H4c08TuktYDkRUrAHItuoTQiQa9XFhbGt54p-DDpZQ6wtRekZQhmC70fuk/s320/Captura.jpg" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><i>Johann Lambert (<a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Johann_Heinrich_Lambert#/media/Archivo:Johann_Heinrich_Lambert_1829_Engelmann.png" target="_blank">fuente</a>)</i></td></tr></tbody></table><p style="text-align: justify;"><br /><span></span></p><a name='more'></a>Quizás, la aproximación por racionales más famosa sea la de Arquímedes (alrededor 250 a.C.). Muy ingeniosamente, aproximó este valor encajando circunferencias entre polígonos regulares de $n$ lados inscritos y circunscritos. Calculando los diámetros y los perímetros de estos polígonos inscritos y circunscritos se pueden hallar cotas inferiores y superiores para $\pi$ que aumentan de precisión al incrementar el número de lados de los polígonos regulares.<p></p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi1rfEAvS49x61FmNN3LOytrBp7OQ2bEsgDuMCbSD2DPKWRiFngzC1u4DymqHMBgyeMod5j4yRTVFnNoIxKAF7wCpcM4Z0dpMkHNxwj3P1mH972SZT0mAlfeBb-jUsDMIWWilF5TQDmqofT/s750/Captura.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="250" data-original-width="750" height="134" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi1rfEAvS49x61FmNN3LOytrBp7OQ2bEsgDuMCbSD2DPKWRiFngzC1u4DymqHMBgyeMod5j4yRTVFnNoIxKAF7wCpcM4Z0dpMkHNxwj3P1mH972SZT0mAlfeBb-jUsDMIWWilF5TQDmqofT/w400-h134/Captura.jpg" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><i>En estos ejemplos podemos ver la idea, polígonos regulares inscritos y circunscritos cada vez más parecidos a la circunferencia (<a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Arqu%C3%ADmedes#/media/File:Archimedes_pi.svg" target="_blank">fuente</a>) </i></td></tr></tbody></table><br /><p style="text-align: justify;">Empezó con hexágonos y fue duplicando el número de lados hasta llegar a un eneadecahexágonos (o polígonos de $96$ lados si dejamos las palabras rimbombantes, pero en esta explicación hay que homenajear a los maestros griegos). De esta manera pudo hallar la aproximación</p><p style="text-align: center;">$\frac{223}{71} < \pi < \frac{22}{7} $ </p><p style="text-align: justify;">ó</p><p style="text-align: center;">$3.140845... < 3.141592... < 3.142857$</p><p style="text-align: justify;">Por lo compacta que es la expresión, $\frac{22}{7}$ es la aproximación de Arquímedes "más famosa" que ha llegado a nuestros días. El acercamiento por exceso de $\pi$ de Arquímedes.</p><p style="text-align: justify;">No obstante, antes de continuar con el resto de esta entrada, me gustaría que el lector se detuviera a admirar la belleza de la idea que acaba de ver. En cierto modo, el bueno de Arquímedes ha usado la idea de límite, nada fuera de lo común, ¿no? Pues quizás sí, hay que tener en cuenta que esta idea es del orden de 1800 años anterior al cálculo diferencial de Newton y Leibniz y de que precede a la integral de Riemann por casi 2000 años. A mí por lo menos, me deja sin palabras, nunca es mal momento para recordar que Arquímedes es uno de los mejores matemáticos que han visto este mundo.</p><p style="text-align: justify;">Tras este breve (y necesario) paréntesis sobre la magnificencia del genio griego, volvemos a lo que nos atañe. Pues, a lo largo de la historia se han usado muchos racionales para aproximar $\pi$.</p><p style="text-align: justify;">Hacia 1900 a.C. los babilonios hacían cálculos equivalentes a la aproximación $\pi \sim \frac{25}{8} = 3 + \frac{1}{8}$.</p><p style="text-align: justify;">El papiro matemático de Rhind fue tomado por un escriba llamado Ahmes durante el Segundo Período Intermedio, alrededor de 1650-1550 a.C. (aunque él asegura haberlo copiado de otro papiro más antiguo del Imperio Medio, 2055-1650 a.C.). Incluye un cálculo aproximado del área de un círculo; interpretado en términos modernos, el resultado obtenido equivale a tomar $\pi \sim \frac{256}{81}$. De todas formas, no está claro si en el Antiguo Egipto reconocían una constante específica análoga a $\pi$.</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjjyjhsbNY06bXsBGjy6rx-hIVdd1Yy7RXeSwtAMWgoKd7aPnTXJDKrybOSuFVoBBnzhVE-0h-nuNQOBHG-pWmtA_fUH-zyZ5ClBIUo3Ls7HM1Kk5L3Q045M__7Qnk6pl0Db9WhkRqssHrF/s750/Captura.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="449" data-original-width="750" height="240" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjjyjhsbNY06bXsBGjy6rx-hIVdd1Yy7RXeSwtAMWgoKd7aPnTXJDKrybOSuFVoBBnzhVE-0h-nuNQOBHG-pWmtA_fUH-zyZ5ClBIUo3Ls7HM1Kk5L3Q045M__7Qnk6pl0Db9WhkRqssHrF/w400-h240/Captura.jpg" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><i>Papiro de Rhind (<a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Papiro_de_Ahmes#/media/Archivo:Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg" target="_blank">fuente</a>)</i></td></tr></tbody></table><p style="text-align: justify;"><br />Alrededor del año 900 a.C., en su texto <i>Shatapatha Brahmana</i>, el astrónoma indio Yajnavalkya aproximó a todos los efectos $\pi$ con $\frac{339}{108}$.</p><p style="text-align: justify;">Hacia el 150 a.C., Ptolomeo aproximó $\pi$ por $\frac{377}{120}$. </p><p style="text-align: justify;">Alrededor del 250 d.C., el matemático chino Liu Hui mostró que $\pi \sim \frac{3927}{1250}$.</p><p style="text-align: justify;">Podemos comparar estas aproximaciones calculando hasta cinco decimales de cada una de ellas para valorar (y admirar) la precisión de los resultados conseguidos:</p><p style="text-align: justify;"></p><table cellpadding="5" cellspacing="0" style="width: 100%px;">
<colgroup><col width="85*"></col>
<col width="85*"></col>
<col width="85*"></col>
</colgroup><tbody><tr valign="top">
<td height="36" style="background: transparent;" width="33%"><p style="font-style: normal; font-weight: normal; text-align: left; text-decoration: none;">
<span style="color: black;"><span style="font-family: Liberation Serif, serif;"><span><span style="font-size: medium; text-decoration: none;">Número</span></span></span></span></p>
</td>
<td style="background: transparent;" width="33%"><p style="font-style: normal; font-weight: normal; text-align: left; text-decoration: none;">
<span style="color: black;"><span style="font-family: Liberation Serif, serif;"><span><span style="font-size: medium; text-decoration: none;">Aproximación
a 5 decimales</span></span></span></span></p>
</td>
<td style="background: transparent;" width="33%"><p style="font-style: normal; font-weight: normal; text-align: right; text-decoration: none;">
<span style="color: black;"><span style="font-family: Liberation Serif, serif;"><span><span style="font-size: medium; text-decoration: none;">Error
relativo</span></span></span></span></p>
</td>
</tr>
<tr valign="top">
<td style="background: transparent;" width="33%"><p style="font-style: normal; font-weight: normal; text-align: left; text-decoration: none;">
<span style="color: black;"><span style="font-family: Liberation Serif, serif;"><span><span style="font-size: medium; text-decoration: none;">$\pi$</span></span></span></span></p>
</td>
<td style="background: transparent;" width="33%"><p style="font-style: normal; font-weight: normal; text-align: center; text-decoration: none;">
<span style="color: black;"><span style="font-family: Liberation Serif, serif;"><span><span style="font-size: medium; text-decoration: none;">3.14159</span></span></span></span></p>
</td>
<td style="background: transparent;" width="33%"><p style="font-style: normal; font-weight: normal; text-align: left; text-decoration: none;">
<span style="font-size: medium;"><br />
</span></p>
</td>
</tr>
<tr valign="top">
<td style="background: transparent;" width="33%"><p style="font-style: normal; font-weight: normal; text-align: left; text-decoration: none;">
<span style="color: black;"><span style="font-family: Liberation Serif, serif;"><span><span style="font-size: medium; text-decoration: none;">$\frac{22}{7}$</span></span></span></span></p>
</td>
<td style="background: transparent;" width="33%"><p style="font-style: normal; font-weight: normal; text-align: center; text-decoration: none;">
<span style="color: black;"><span style="font-family: Liberation Serif, serif;"><span><span style="font-size: medium; text-decoration: none;">3.14285</span></span></span></span></p>
</td>
<td style="background: transparent;" width="33%"><p style="font-style: normal; font-weight: normal; text-align: right; text-decoration: none;">
<span style="color: black;"><span style="font-family: Liberation Serif, serif;"><span><span style="font-size: medium; text-decoration: none;">0.04%
más grande</span></span></span></span></p>
</td>
</tr>
<tr valign="top">
<td style="background: transparent;" width="33%"><p style="font-style: normal; font-weight: normal; text-align: left; text-decoration: none;">
<span style="color: black;"><span style="font-family: Liberation Serif, serif;"><span><span style="font-size: medium; text-decoration: none;">$\frac{25}{8}$</span></span></span></span></p>
</td>
<td style="background: transparent;" width="33%"><p style="font-style: normal; font-weight: normal; text-align: center; text-decoration: none;">
<span style="color: black;"><span style="font-family: Liberation Serif, serif;"><span><span style="font-size: medium; text-decoration: none;">3.12500</span></span></span></span></p>
</td>
<td style="background: transparent;" width="33%"><p style="font-style: normal; font-weight: normal; text-align: right; text-decoration: none;">
<span style="color: black;"><span style="font-family: Liberation Serif, serif;"><span><span style="font-size: medium; text-decoration: none;">0.05%
más pequeño</span></span></span></span></p>
</td>
</tr>
<tr valign="top">
<td style="background: transparent;" width="33%"><p style="font-style: normal; font-weight: normal; text-align: left; text-decoration: none;">
<span style="color: black;"><span style="font-family: Liberation Serif, serif;"><span><span style="font-size: medium; text-decoration: none;">$\frac{256}{81}$</span></span></span></span></p>
</td>
<td style="background: transparent;" width="33%"><p style="font-style: normal; font-weight: normal; text-align: center; text-decoration: none;">
<span style="color: black;"><span style="font-family: Liberation Serif, serif;"><span><span style="font-size: medium; text-decoration: none;">3.16049</span></span></span></span></p>
</td>
<td style="background: transparent;" width="33%"><p style="font-style: normal; font-weight: normal; text-align: right; text-decoration: none;">
<span style="color: black;"><span style="font-family: Liberation Serif, serif;"><span><span style="font-size: medium; text-decoration: none;">0.06%
más grande</span></span></span></span></p>
</td>
</tr>
<tr valign="top">
<td style="background: transparent;" width="33%"><p style="font-style: normal; font-weight: normal; text-align: left; text-decoration: none;">
<span style="color: black;"><span style="font-family: Liberation Serif, serif;"><span><span style="font-size: medium; text-decoration: none;">$\frac{339}{108}$</span></span></span></span></p>
</td>
<td style="background: transparent;" width="33%"><p style="font-style: normal; font-weight: normal; text-align: center; text-decoration: none;">
<span style="color: black;"><span style="font-family: Liberation Serif, serif;"><span><span style="font-size: medium; text-decoration: none;">3.13888</span></span></span></span></p>
</td>
<td style="background: transparent;" width="33%"><p style="font-style: normal; font-weight: normal; text-align: right; text-decoration: none;">
<span style="color: black;"><span style="font-family: Liberation Serif, serif;"><span><span style="font-size: medium; text-decoration: none;">0.08%
más pequeño</span></span></span></span></p>
</td>
</tr>
<tr valign="top">
<td style="background: transparent;" width="33%"><p style="font-style: normal; font-weight: normal; text-align: left; text-decoration: none;">
<span style="color: black;"><span style="font-family: Liberation Serif, serif;"><span><span style="font-size: medium; text-decoration: none;">$\frac{223}{71}$</span></span></span></span></p>
</td>
<td style="background: transparent;" width="33%"><p style="font-style: normal; font-weight: normal; text-align: center; text-decoration: none;">
<span style="color: black;"><span style="font-family: Liberation Serif, serif;"><span><span style="font-size: medium; text-decoration: none;">3.14084</span></span></span></span></p>
</td>
<td style="background: transparent;" width="33%"><p style="font-style: normal; font-weight: normal; text-align: right; text-decoration: none;">
<span style="color: black;"><span style="font-family: Liberation Serif, serif;"><span><span style="font-size: medium; text-decoration: none;">0.02%
más pequeño</span></span></span></span></p>
</td>
</tr>
<tr valign="top">
<td style="background: transparent;" width="33%"><p style="font-style: normal; font-weight: normal; text-align: left; text-decoration: none;">
<span style="color: black;"><span style="font-family: Liberation Serif, serif;"><span><span style="font-size: medium; text-decoration: none;">$\frac{377}{120}$</span></span></span></span></p>
</td>
<td style="background: transparent;" width="33%"><p style="font-style: normal; font-weight: normal; text-align: center; text-decoration: none;">
<span style="color: black;"><span style="font-family: Liberation Serif, serif;"><span><span style="font-size: medium; text-decoration: none;">3.14166</span></span></span></span></p>
</td>
<td style="background: transparent;" width="33%"><p style="font-style: normal; font-weight: normal; text-align: right; text-decoration: none;">
<span style="color: black;"><span style="font-family: Liberation Serif, serif;"><span><span style="font-size: medium; text-decoration: none;">0.002%
más grande</span></span></span></span></p>
</td>
</tr>
<tr valign="top">
<td style="background: transparent;" width="33%"><p style="font-style: normal; font-weight: normal; text-align: left; text-decoration: none;">
<span style="color: black;"><span style="font-family: Liberation Serif, serif;"><span><span style="font-size: medium; text-decoration: none;">$\frac{3927}{1250}$</span></span></span></span></p>
</td>
<td style="background: transparent;" width="33%"><p style="font-style: normal; font-weight: normal; text-align: center; text-decoration: none;">
<span style="color: black;"><span style="font-family: Liberation Serif, serif;"><span><span style="font-size: medium; text-decoration: none;">3.14160</span></span></span></span></p>
</td>
<td style="background: transparent;" width="33%"><p style="font-style: normal; font-weight: normal; text-align: right; text-decoration: none;">
<span style="color: black;"><span style="font-family: Liberation Serif, serif;"><span><span style="font-size: medium; text-decoration: none;">0.0002%
más grande</span></span></span></span></p>
</td>
</tr>
</tbody></table><br /><p></p><p style="text-align: justify;">Desde entonces, la cosa ha cambiado mucho, y hoy en día cualquier ordenador es capaz de obtener varios miles de dígitos de $\pi$ en cuestión de segundos (por ejemplo en <a href="https://www.angio.net/pi/" target="_blank">esta curiosa página web</a> puedes buscar cuándo aparece una determinada sucesión de números en el desarrollo decimal de $\pi$, ¡podrías incluso buscar el Quijote entero!). No obstante, es de admirar el trabajo que hicieron estos genios de la Antigüedad con tan pocas herramientas.</p><p style="text-align: justify;"></p><blockquote>Esta entrada participa en la <a href="https://www.gaussianos.com/edicion-12-2-carl-friedrich-gauss-del-carnaval-de-matematicas-del-23-de-abril-al-2-de-mayo-de-2021/" target="_blank">Edición 12.2: Carl Friedrich Gauss</a> del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza <a href="https://www.gaussianos.com/" target="_blank">Gaussianos</a>.</blockquote><p></p><p style="text-align: justify;">Y un poco de bibliografía:</p><p style="text-align: justify;">- El libro "Números Increíbles" del también increíble Ian Stewart.</p><p style="text-align: justify;">- La entrada "<a href="http://matematicaseducativas.blogspot.com/2011/03/arquimedes-y-el-numero.html" target="_blank">Arquímedes y el número $\pi$</a>" del blog <a href="http://matematicaseducativas.blogspot.com/" target="_blank">Matemáticas Educativas</a>.</p>Alejandro Fernández Jiménezhttp://www.blogger.com/profile/04620407736611495189noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-6427508360296366322.post-81336825481796853802021-04-29T13:29:00.003+02:002021-04-29T13:53:17.202+02:00ENTREVISTA EN 'HERRERA EN COPE'<p style="text-align: justify;"> El pasado martes 13 de abril el programa 'Herrera en COPE' de COPE Madrid me hicieron una entrevista de 10 minutos con motivo de la medalla de bronce que pude ganar en la Olimpiada Iberoamericana de Matemática Universitaria. </p><p style="text-align: center;"><a href="https://www.cope.es/emisoras/comunidad-de-madrid/madrid-provincia/madrid/herrera-en-cope-madrid/audios/herrera-cope-madrid-con-jon-uriarte-monica-alvarez-1250-1300-horas-13-04-2021-20210413_1425197" target="_blank">En este enlace puedes acceder a la entrevista completa</a>.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiEsVLRz-LupHoaQiIc9ShDfFwzjXEEU2-dQuacYZBZ9JxAzLQcgTZgGdPLq4D5Pbcacdt0vRNnd8S8GTwX9c7rD3JYD_s3yeSGAJYibiZfH7JjhiYGIsRM9nsq6967Aeb2_iRzhKNxXTmx/s1920/Captura.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1080" data-original-width="1920" height="225" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiEsVLRz-LupHoaQiIc9ShDfFwzjXEEU2-dQuacYZBZ9JxAzLQcgTZgGdPLq4D5Pbcacdt0vRNnd8S8GTwX9c7rD3JYD_s3yeSGAJYibiZfH7JjhiYGIsRM9nsq6967Aeb2_iRzhKNxXTmx/w400-h225/Captura.jpg" width="400" /></a></div><div><br /></div><span><a name='more'></a></span><div>A continuación dejo el fragmento de la noticia.</div><div><br /></div><div><h2 style="text-align: center;"><b>Herrera en COPE en Madrid con Jon Uriarte y Mónica Álvarez de 12:50 a 13:00 horas (13/04/2021)</b></h2><div><b><br /></b></div><h3 style="text-align: center;">Hablamos con Alejandro Fernández, un estudiante de Matemáticas de la Autónoma de Madrid, que es de los mejores del mundo resolviendo problemas matemáticos.</h3><div><br /></div><div><br /></div><p style="text-align: justify;">Escucha ya las desconexiones locales de Madrid de Herrera en COPE en Madrid y Mediodía COPE en Madrid. Presentadas por Mónica Álvarez, Jon Uriarte y Antonio Herraiz, prestigiosos comunicadores de la Cadena COPE.</p><p style="text-align: justify;">Las desconexiones locales de Madrid son espacios de 10 minutos de duración que se emiten en COPE, de lunes a viernes. Dentro del programa de Herrera en COPE, de 12:20 a 12:30 y de 12:50 a 13:00, con Jon Uriarte y Mónica Álvarez. En el programa de Mediodía COPE, puedes escucharnos de 13:20 a 13:30, con Antonio Herraiz y Mónica Álvarez.</p><p style="text-align: justify;">Te contamos las últimas noticias de la Comunidad de Madrid con los mejores reportajes que más te interesan y las mejores entrevistas, siempre pensando en el ciudadano madrileño. Gracias al equipo de profesionales de COPE Madrid, que te acercarán toda la actualidad y los temas que te interesan.</p><p style="text-align: justify;">Descarga gratis la nueva app de COPE para estar informado y prueba todas las novedades.</p><p style="text-align: justify;">Ya disponible gratis para iPhone y Android, con nuevas funcionalidades. Todos los programas, emisoras y noticias. Con la posibilidad de recibir notificaciones en tu móvil para así estar al tanto de todo lo que pasa en el mundo, en tu país y en tu ciudad. La aplicación para iOS y Android, se puede descargar de forma totalmente gratuita a través de la App Store y Google Play</p><p style="text-align: justify;">Además, si te gusta el deporte, te recomendamos la aplicación de Tiempo de Juego para App Store y Android, El mejor equipo de deportes de la radio española en tu móvil liderados por sus comunicadores estrella Pepe Domingo Castaño, Manolo Lama y el gran Paco González.</p><p style="text-align: justify;"><br /></p></div>Alejandro Fernández Jiménezhttp://www.blogger.com/profile/04620407736611495189noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-6427508360296366322.post-51167823017922932042021-04-19T14:46:00.005+02:002021-07-09T12:40:15.976+02:00RETO (CAFÉ Y TEOREMAS) - FICHAS DE DOMINÓ<p style="text-align: justify;">Sea $n$ un entero positivo. En un tablero de $2n \times 2n$ casillas se colocan dominós de manera que cada casilla del tablero sea adyacente a exactamente una casilla cubierta por un dominó. Para cada $n$, determine la mayor cantidad de dominós que se pueden poner de esa manera.</p><p style="text-align: justify;"><i>Nota</i>: Un dominó es una ficha de $1 \times 2$ o de $2 \times 1$ cuadrados unitarios. Los dominós son colocados en el tablero de manera que cada dominó cubre exactamente dos casillas del tablero y los dominós no se superponen (no se traslapan). Decimos que dos casillas son adyacentes si son diferentes y tienen un lado en común.</p><p style="text-align: right;">Problema 2 <i>VIII EGMO 2019 (Ucrania)</i>.</p><p style="text-align: right;"><br /></p><div style="text-align: justify;"><span>Este problema es un </span><b>reto</b><span> de </span><a href="http://matematicosoriano.blogspot.com/" target="_blank">Matemático Soriano</a><span>. ¿No sabes qué son los retos? Lee la entrada </span><a href="http://matematicosoriano.blogspot.com/2020/03/nueva-seccion-retos-matematicos.html" target="_blank"><b>retos matemáticos</b></a><span>. La idea es debatir la solución de este problema en la sección de comentarios, seguro que tenemos una discusión llena de ideas maravillosas.</span></div><div style="text-align: justify;"><span><br /></span></div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEimTF3ul_BNLCphl49do20R9vN1FB5FiNSBKYwR4ayGMbrheah-KxL25WbHQ7dz-Tot4z8Q4uPilWPuVyLRy1ZMUxeppB1i3vk051QQl5ukJrsXhDk38MXRsyFqxrkOLTF1BtZ9Dh-pcZgq/s1556/Captura.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1556" data-original-width="1382" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEimTF3ul_BNLCphl49do20R9vN1FB5FiNSBKYwR4ayGMbrheah-KxL25WbHQ7dz-Tot4z8Q4uPilWPuVyLRy1ZMUxeppB1i3vk051QQl5ukJrsXhDk38MXRsyFqxrkOLTF1BtZ9Dh-pcZgq/s320/Captura.jpg" /></a></div><br /><span><br /></span></div><div><span><br /></span></div>Alejandro Fernández Jiménezhttp://www.blogger.com/profile/04620407736611495189noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-6427508360296366322.post-91349093818845544562021-01-19T21:09:00.023+01:002021-01-20T11:12:12.162+01:00MATEMÁTICAS DE LA QUIMIOTAXIA. LAS ECUACIONES DE KELLER-SEGEL<p style="text-align: justify;"> Las matemáticas tienen ese lado creativo del "arte por el arte" con la que son capaces de abstraerse a un mundo distinto del habitual. Un mundo hermoso con sus propias reglas e infinidad de retos con los que disfrutar, un mundo que te obliga a elaborar y a imaginar un lenguaje nuevo. Esta es quizás una de las facetas más famosas de las matemáticas, pero, ¿sabías que tienen otra cara que es igual de interesante, o incluso más? En esta "otra cara", en vez de crear un lenguaje, las matemáticas "traducen" las historias que la naturaleza quiere contarnos. Y son historias que merecen ser contadas y hoy, aquí, vamos a hablar un poco sobre uno de estos relatos en los que la ciencia matemática hace de intérprete entre nuestra civilización y un particular campo de estudio relacionado con la bioquímica, la <b>quimiotaxia</b>. </p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhgmsVRxMjSi1TxGnCDoRToXtHr0N2V1FHRfL2vPwsZvD3P-vQ2ekMVVGChfo3iJ31nyYPqFYbAPMnp4duEQtq7eJdt4rOg2IdbOssPFn1sXCfEv_KYzl2RoyIck369Wsr80mgi3E2JzqkG/s800/Captura.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="400" data-original-width="800" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhgmsVRxMjSi1TxGnCDoRToXtHr0N2V1FHRfL2vPwsZvD3P-vQ2ekMVVGChfo3iJ31nyYPqFYbAPMnp4duEQtq7eJdt4rOg2IdbOssPFn1sXCfEv_KYzl2RoyIck369Wsr80mgi3E2JzqkG/w400-h200/Captura.jpg" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><i>Hoy toca hablar de bioquímica</i></td></tr></tbody></table><p style="text-align: justify;">La quimiotaxia es un fenómeno que provoca que los organismos dirijan sus movimientos atendiendo a ciertos químicos concentrados en su entorno. Si el movimiento se dirige hacia concentraciones más altas de la sustancia
química hablamos de quimiotaxia positiva y el atractor se denomina quimioatractor. En esta película (0:14-0:47) del profesor John Bonner se puede visualizar muy bien cuál es el efecto de la quimiotaxia. En ella, observamos los a la <i>Dictyostelium discoideum</i>, un tipo de moho mucilaginoso, y los movimientos que hacen estos organismos, los cuáles son debidos a la quimiotaxia. </p>
<div style="text-align: center;"><iframe allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture" allowfullscreen="" frameborder="0" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/bkVhLJLG7ug?start=14" width="560"></iframe></div><div style="text-align: center;"><br /></div><span></span><span><a name='more'></a></span><div style="text-align: justify;"><span style="text-align: justify;">Algunas células generan ellas mismas el quimioatractor, dando lugar a interacciones de
largo rango no-locales entre ellas. Este comportamiento, observado en algunas myxamoebas es el que pretendemos explicar en esta entrada. Estas amebas experimentan un paseo
aleatorio para esparcirse por el espacio y buscar comida mientras se ven afectadas por
la atracción que tiene sobre ellas estas sustancias que están secretando. El resultado de combinar ambos fenómenos da lugar a una competición
entre difusión y agregación, que es tan interesante como difícil de analizar.</span></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjLRCGKK1_eDBqSfS-uEhRQkvRPP_F_0HzBUwMX_yedD2L5b-ICM18ZH5s6KmjFooMJo7eUoYvroVQAQJ4ZVwG-dF8jZxkPZQZ0xq5TRZYKD4epERm0vACY78GW6zJWR_5YX5RU1w1UXX6h/s1280/Captura.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="881" data-original-width="1280" height="275" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjLRCGKK1_eDBqSfS-uEhRQkvRPP_F_0HzBUwMX_yedD2L5b-ICM18ZH5s6KmjFooMJo7eUoYvroVQAQJ4ZVwG-dF8jZxkPZQZ0xq5TRZYKD4epERm0vACY78GW6zJWR_5YX5RU1w1UXX6h/w400-h275/Captura.png" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><i>Ciclo de la Dictyostelium discoideum (fuente: Wikipedia).</i></td></tr></tbody></table><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Lo primero que hay que hacer para conseguir nuestro propósito es construir un modelo que sea capaz de explicar el comportamiento que hemos descrito. Los primeros que fueron capaces de lograrlo fueron Evelyn Fox Keller y Lee Aaron Segel en 1970 y Clifford S. Patlak de forma independiente en 1953. El sistema que proponen para resolver el problema que hemos descrito consiste en un conjunto de ecuaciones que enuncian tal que así</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: center;">$ \dfrac{\partial \rho}{\partial t} \, = \, \Delta (\rho^m) - \mathrm{div} ( \rho \nabla c)$,</div><div style="text-align: center;">$ \tau \partial_t c \, = \, \Delta c - \alpha c + \rho$,</div><div style="text-align: center;">$\rho_0 \geq 0$, $c_0 \geq 0$</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">con $(t, x) \in (0, + \infty ) \times \mathbb{R}^d$. $d$ es la dimensión, $t$ el tiempo, $x$ el espacio, $\rho$ se refiere a la densidad celular, es decir, una forma de medir la cantidad de células en un lugar $x$ determinado de nuestro espacio para un tiempo $t$ particular y $c$ hace referencia a la concentración del quimioatractor, que al igual que para $\rho$, depende del tiempo y el espacio. $\rho_0$ y $c_0$ son la densidad celular inicial y concentración del quimioatractor inicial respectivamente, es decir, cuáles son las condiciones en las que nos encontramos antes de comenzar a estudiar la evolución de las células.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Esto es quizás un poco complicado, así que ahora que ya lo hemos presentado vamos a concentrarnos en una pequeña simplificación para dimensión $d=2$.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: center;">$\dfrac{\partial \rho}{\partial t} \, = \, \Delta \rho - \mathrm{div} (\rho \nabla c)$,</div><div style="text-align: center;">$- \Delta c \, = \, \rho$,</div><div style="text-align: center;">$\rho_0 \geq 0$, $c_0 \geq 0$</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">con $(t, x) \in (0, + \infty ) \times \mathbb{R}^2$.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><b>¡ATENCIÓN! ¡NO ASUSTARSE DEMASIADO RÁPIDO! </b>Todas estas letrujas y símbolos raros que acabas de leer quizás te hayan asustado un poco. O peor aún, puede que no sepas que diferencia hay entre esto y el chino. Lo que acabas de leer se conoce como ecuación en derivadas parciales, o EDP para abreviar, y no tienes nada de lo que preocuparte. En las siguientes líneas vamos a intentar explicar lo que significan.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Como hemos dicho antes la tercera línea, $\rho_0 \geq 0$, $c_0 \geq 0$, no es más que una <b>condición inicial que imponemos a nuestros datos</b>. Lo único que quiere decir, es que, el sistema que nos encontramos cuenta con una cantidad inicial no negativa de células y una cantidad no negativa de la sustancia química (quimioatractor). Estamos pidiendo algo muy razonable, no tendría sentido que la cantidad de células o de sustancia química fuese inferior a $0$, en el zoo de Madrid, no nos vamos a encontrar con $-2$ elefantes, por ejemplo.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">La segunda línea, $- \Delta c \, = \, \rho$, es algo complicada y no merece la pena que nos entretengamos demasiado en tecnicismos. Lo único importante que hay que saber sobre ella, es que nos <b>da la información que necesitamos sobre cómo se produce quimioatractor</b>. Según como se encuentren posicionadas nuestras células, estas producirán en cada punto del plano una cantidad u otra de quimioatractor. No vamos profundizar más sobre las matemáticas escondidas en esta línea, lo que hemos comento es lo más importante y lo único que tenemos que tener en cuenta.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><b>El jugo y la chicha de este problema viene resumido en la primera línea</b>, $\dfrac{\partial \rho}{\partial t} \, = \, \Delta \rho - \mathrm{div} (\rho \nabla c)$, que es la realmente interesante. Es esta en la que nos vamos a detener y con la que vamos a disfrutar, y, espero que mucho. Analicemos parte por parte.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Al lado izquierdo de la igualdad aparece el término $\dfrac{\partial \rho}{\partial t}$. ¿Qué quiere decir?, este símbolo se lee como la derivada de la densidad celular $\rho$ con respecto al tiempo $t$. Sabemos que $\rho$ depende de más de una variable, del tiempo $t$ y del espacio $x$, derivar solo con respecto al tiempo sería como hacer una derivada normal en la que las variables que no son $t$ las tratamos igual que si fuesen constantes, solo nos interesa $t$. Lo que hay que saber es que este término, nos da información sobre como evoluciona nuestra población de células a medida que va pasando el tiempo.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Al lado derecho de la igualdad aparece la expresión $\Delta \rho - \mathrm{div} (\rho \nabla c)$. Esta representa la competición entre ambos comportamientos de la que hablábamos al principio. Es una competición, entre un término de difusión que provoca que las células se extiendan por todas partes buscando alimentos, está caracterizado por $\Delta \rho$, y un término de agregación que provoca que las células tiendan a juntarse formando estructuras más complejas, y que está caracterizado por $- \mathrm{div} (\rho \nabla c)$. Igualando $\dfrac{\partial \rho}{\partial t}$ con $\Delta \rho - \mathrm{div} (\rho \nabla c)$, observamos como esta competición, entre difusión y agregación, marca la evolución de la población de células a lo largo del tiempo.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">El término de difusión, $\Delta \rho$, lo conocemos muy bien y comprendemos su comportamiento -aprovechando que estamos hablando de $\Delta \rho$ quiero hacer un breve paréntesis para ensalzar la figura del matemático Juan Luis Vázquez, pionero en esta ecuación, conocida en el argot matemático como la "porous medium equation", algún día hablaremos de ambos-. El triangulito ese que aparece, $\Delta$, se llama laplaciano y sin entrar demasiado en las matemáticas detrás de él, diremos que explica de forma muy fidedigna como se esparcen partículas que siguen trayectorias aleatorias.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhRTSfGMCYAQRMDk5pf4bINI16YZahAkflVs43hp14aH9jSGgmuSmJVT-2SnwOVay39cJ1Uk-fRI5gtCdww17yTySf-fD2Ulr-4s5vyxGfsdh2Kb7sBzALCKmgOnwQHfnND0pnPcDW9Kml8/s320/Captura.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="320" data-original-width="213" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhRTSfGMCYAQRMDk5pf4bINI16YZahAkflVs43hp14aH9jSGgmuSmJVT-2SnwOVay39cJ1Uk-fRI5gtCdww17yTySf-fD2Ulr-4s5vyxGfsdh2Kb7sBzALCKmgOnwQHfnND0pnPcDW9Kml8/w266-h400/Captura.jpg" width="266" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><i>Fotagrafía de Juan Luis Vázquez tomada del departamento de matemáticas de la Universidad Autónoma de Madrid.</i></td></tr></tbody></table><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">El término de agregación, $- \mathrm{div} (\rho \nabla c)$, de nuevo, es un poco complicado, pero lo único que necesitamos saber es que explica bastante bien el proceso que siguen las células para juntarse en acumulaciones (o "clusters" en inglés).</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Al juntar ambos términos en una sola ecuación lo que pretendemos es ver cuál es el término de los dos que domina sobre el otro. Si es la difusión, las células tenderán a esparcirse por todo el espacio y $\rho$ tenderá a $0$ en cada punto $x$ al hacer avanzar el tiempo, es decir, en cada punto cada vez habrá menos células porque las estamos esparciendo para que vayan a todas partes. Si la agregación domina, todas estas células se juntarán en uno o unos pocos puntos y en el resto del plano no quedarán, forman lo que en el argot matemático se conoce como "deltas de Dirac", masa concentrada toda en un punto. También podríamos tener un comportamiento intermedio, pero de este caso no vamos a hablar demasiado aquí, ya que no es lo habitual y todavía no se sabe mucho al respecto.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Hecha esta discusión, nos gustaría saber cuando nos encontramos en cada una de las dos situaciones. A la hora de estudiar una ecuación en derivadas parciales es muy importante entender las propiedades básicas de estas, es el primer paso, completamente imprescindible para cualquier cosa que queramos hacer después. De hecho, para hacer aproximaciones numéricas, primero necesitaremos comprender muy bien todas las enjundias detrás de la ecuación, pues sin ellas podríamos, o bien no ser capaces de elaborar un método numérico o no tener certeza sobre la veracidad de los resultados, que es incluso peor que no tener un método numérico.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Terminada esta pequeña propaganda sobre los encantos y dificultades del análisis numérico, volvemos a nuestro tema, las propiedades básicas. Nuestra ecuación tiene una muy importante, y es que, preserva la masa, es decir, da igual en que instante de tiempo nos encontremos, la masa (o número de células involucradas en el sistema) siempre va a ser la misma. Es decir, tal y como le habíamos dicho al modelo, explica el movimiento de un conjunto de células que ya estaba ahí, lo que hemos llamado $\rho_0$. Estas células "que estaban al principio" seguirán estando para todo tiempo $t$, cambiarán de posición, pero, independiente de en que momento volvamos a mirar a nuestro sistema todas esas células y solo esas células estarán. Ni nacen, ni mueren células durante el proceso que estamos estudiando.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">La lógica dice que cuando la masa es pequeña, es decir, hay pocas células, la cantidad de quimioatractor creado será muy baja y por ello el efecto del término de agregación no será demasiado grande. Esto concuerda con lo que nos dice la biología. Cuando hay poca población, la cantidad de nutrientes es suficiente para todos los individuos, no hay necesidad de competir por ellos y las células se esparcen aleatoriamente buscándolos.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">En cambio, cuando la masa es grande, es decir, muchas células, la cantidad de quimioatractor producido va a ser mucho mayor y la relevancia del término de agregación crecerá. De nuevo, concuerda con lo que nos dice la biología, no tenemos nutrientes suficientes para todos los individuos de la población y se ven obligados a buscar soluciones ingeniosas. La respuesta que dan estos organismos para este caso consiste en agruparse en una o varias estructuras más complejas para darse apoyo.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Tras toda esta discusión y mucho esfuerzo, los investigadores han conseguido clasificar este problema en tres casos principales.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><ul><li><b>Masa subcrítica</b>. La masa (recordar una vez más, incluso a riesgo de parecer pesado, que aquí masa significa integral de la densidad celular $\rho$ en el plano) es inferior a $8 \pi$. Si nos encontramos en una disposición inicial tal que la masa de las células es inferior a $8 \pi$, sin importar cómo estén distribuidas la tendencia que seguirán será a esparcirse.</li><li><b>Masa supercrítica</b>. La masa es superior a $8 \pi$. En caso de tener una disposición inicial tal que la masa de las células es superior a $8 \pi$, estas no se esparcirán sino que se agruparán en una o varias estructuras. Eso sí, cada una de las estructuras tiene que acumular una cantidad de masa de al menos $8 \pi$.</li><li><b>Masa crítica</b>. La masa es exactamente $8 \pi$. Es el caso más complicado y sobre el que menos sabemos, dependiendo la disposición inicial de las células se observan una gran variedad de comportamientos.</li></ul></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Este tema, es realmente interesante y estoy bastante seguro de que volveremos a tocarlo en el blog. Varios de los aspectos que hemos tratado en esta entrada se han desarrollado durante los últimos 20 ó 25 años y todavía quedan varias preguntas por responder. Son muchos matemáticos de alto nivel trabajando actualmente en este problema. Sin ir más lejos, por poner dos ejemplos de la alta "aristocracia matemática", Cédric Villani, Medalla Fields en 2010, y Alessio Figalli, Medalla Fields en 2018, han publicado varios trabajos relacionados con este problema.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Estoy bastante seguro de que en el futuro cercano se seguirán realizando avances en este problema y en las matemáticas aplicadas en general. Mientras tanto, y para quien se haya quedado con ganas de más, dejo un par de referencias que resumen los avances conseguidos hasta el momento en relación a las ecuaciones de Keller-Segel.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><ul><li><a href="https://www.mis.mpg.de/preprints/2003/preprint2003_3.pdf" target="_blank">D. Horstmann. <i>From 1970 until present: the Keller-Segel model in chemotaxis and its consequences</i>. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 105 (2003) 3, pp. 103-165</a>.</li><li><a href="https://arxiv.org/abs/1810.03634" target="_blank">J.A. Carrillo, K. Craig, Y. Yao. <i>Aggregation-diffusion equations: dynamics, asymptotics, and singular limits.</i> Active Particles, Volume 2, 2019 - Springer</a>.</li></ul></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">En el primero se hace un repaso de los avances conseguidos durante los primeros 30 años de investigación y el segundo, más actual, nos resume la situación en la que se encuentran las investigaciones (aunque ya hay novedades, esto avanza muy rápido).</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Desafortunadamente, estos dos textos son difíciles de leer sin unos conocimientos mínimos de matemáticas ya que no fueron concebidos para el público general. Las ecuaciones de Keller-Segel todavía no constituyen un tema muy popular en los ámbitos divulgativos. El material escrito con fines divulgativos en relación a este sistema de ecuaciones es todavía muy escaso. Esperemos que esta tendencia pueda ir cambiando poco a poco.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: center;">Este post forma parte del <b>Carnaval de Matemáticas</b>, que en esta nonagésima tercera edición, también denominada <a href="https://medium.com/atodogauss/edici%C3%B3n-11-7-del-carnaval-de-matem%C3%A1ticas-cf0bc1ff59d9" target="_blank">11.7</a>, está organizado por @Pedrodanielpg a través de su blog <a href="https://medium.com/atodogauss" target="_blank">A todo Gauss</a>.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div>Alejandro Fernández Jiménezhttp://www.blogger.com/profile/04620407736611495189noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-6427508360296366322.post-81531129113931658442020-12-05T13:42:00.004+01:002020-12-25T12:17:46.599+01:00RETO (CAFÉ Y TEOREMAS) - UNA DESIGUALDAD ALGO PECULIAR<p style="text-align: justify;"> Demostrar que para todo entero $n>1$ se cumple:</p><p style="text-align: center;">$1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot ... \cdot \left( 2n - 1 \right) < n^n$</p><p style="text-align: right;">Problema propuesto en la <i>Olimpiada de Alemania de 1990</i>.</p><p style="text-align: justify;"><br /></p><div style="text-align: justify;"><span>Este problema es un </span><b>reto</b><span> de </span><a href="http://matematicosoriano.blogspot.com/" target="_blank">Matemático Soriano</a><span>. ¿No sabes qué son los retos? Lee la entrada </span><a href="http://matematicosoriano.blogspot.com/2020/03/nueva-seccion-retos-matematicos.html" target="_blank"><b>retos matemáticos</b></a><span>. La idea es debatir la solución de este problema en la sección de comentarios, seguro que tenemos un debate lleno de ideas maravillosas.</span></div><div><span><br /></span></div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEimTF3ul_BNLCphl49do20R9vN1FB5FiNSBKYwR4ayGMbrheah-KxL25WbHQ7dz-Tot4z8Q4uPilWPuVyLRy1ZMUxeppB1i3vk051QQl5ukJrsXhDk38MXRsyFqxrkOLTF1BtZ9Dh-pcZgq/s1556/Captura.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1556" data-original-width="1382" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEimTF3ul_BNLCphl49do20R9vN1FB5FiNSBKYwR4ayGMbrheah-KxL25WbHQ7dz-Tot4z8Q4uPilWPuVyLRy1ZMUxeppB1i3vk051QQl5ukJrsXhDk38MXRsyFqxrkOLTF1BtZ9Dh-pcZgq/s320/Captura.jpg" /></a></div><br /><span><br /></span></div>Alejandro Fernández Jiménezhttp://www.blogger.com/profile/04620407736611495189noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-6427508360296366322.post-58671336927638841172020-09-28T10:00:00.004+02:002020-09-28T10:00:04.822+02:00ACERTIJO 120 - ÁREA SOMBREADA<p style="text-align: justify;">En el dibujo, el lado del cuadrado mide 2, las semicircunferencias pasan por el centro del cuadrado y tienen sus centros en los vértices del cuadrado. Los círculos grises tienen sus centros sobre los lados del cuadrado y son tangentes a las semicircunferencias. ¿Cuánto vale la suma de las áreas grises? </p><p style="text-align: justify;"><br /></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh1p7MHLJRi7WblX1mjO5eUKPUgEFcn8wCNwOuzDo7xhHGtPY-Y_a-PASE93TU9KFPL3JNfNcAs3krLMWdwS16_z0j-Ta5fXH0esBSuQPOLkdafIuQM3FfgTGuIiRgKtsRwvtT9cdbCdScL/s411/Captura.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="383" data-original-width="411" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh1p7MHLJRi7WblX1mjO5eUKPUgEFcn8wCNwOuzDo7xhHGtPY-Y_a-PASE93TU9KFPL3JNfNcAs3krLMWdwS16_z0j-Ta5fXH0esBSuQPOLkdafIuQM3FfgTGuIiRgKtsRwvtT9cdbCdScL/s320/Captura.jpg" width="320" /></a></div><br /><p style="text-align: justify;">La solución como siempre algo más abajo.</p><p style="text-align: justify;"><br /></p><span><a name='more'></a></span><p style="text-align: justify;">SOLUCIÓN:</p><p style="text-align: justify;"><br /></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiHsiG8r7RwIQ17n38OPheWChZ8irZQvFM91WwFKiflXvnFlwszINAdmzur-YFk0XGP2jLT9lJivRQV-ibV9J-lRaXcXflRbmm2HfhzTT7v_ZZ6n9GilQhPQJDdj-nrcfjOTlGB9tz-VYty/s600/Captura.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="300" data-original-width="600" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiHsiG8r7RwIQ17n38OPheWChZ8irZQvFM91WwFKiflXvnFlwszINAdmzur-YFk0XGP2jLT9lJivRQV-ibV9J-lRaXcXflRbmm2HfhzTT7v_ZZ6n9GilQhPQJDdj-nrcfjOTlGB9tz-VYty/s320/Captura.JPG" width="320" /></a></div><div><br /></div><br /><p style="text-align: justify;">La solución es $4 \left( 3 - 2 \sqrt{2} \right) \pi$</p><p style="text-align: justify;"><br /></p>Alejandro Fernández Jiménezhttp://www.blogger.com/profile/04620407736611495189noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-6427508360296366322.post-85212234204544703802020-09-25T10:00:00.002+02:002020-09-25T10:00:05.803+02:00ACERTIJO 119 - MOVIENDO PIEZAS<p style="text-align: justify;"> Siete piezas de $3 cm \times 1 cm$ se colocan en una caja de $5 cm \times 5 cm$. Se pueden deslizar las piezas en la caja, de modo que haya espacio para una pieza más. ¿Cómo mínimo, cuántas piezas hay que mover?</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhWNyD7Ad2Jkqgpl0sDiIT22GuGXsr0ZCDYe6NqixArtouq8PCRGehM8wO8hu8dGhdUg0oJTS-s11IAi-55mMc3k9lYiKNBIX5RLXb3RgBcpamwHynoid2LJt6KfYqoyKdsvFmhEay0-5ny/s255/Captura.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="254" data-original-width="255" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhWNyD7Ad2Jkqgpl0sDiIT22GuGXsr0ZCDYe6NqixArtouq8PCRGehM8wO8hu8dGhdUg0oJTS-s11IAi-55mMc3k9lYiKNBIX5RLXb3RgBcpamwHynoid2LJt6KfYqoyKdsvFmhEay0-5ny/s0/Captura.jpg" /></a></div><div><br /></div><br /><p style="text-align: justify;">La solución como siempre algo más abajo.</p><p style="text-align: justify;"><br /></p><span><a name='more'></a></span><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;">SOLUCIÓN:</p><p style="text-align: justify;"><br /></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiHsiG8r7RwIQ17n38OPheWChZ8irZQvFM91WwFKiflXvnFlwszINAdmzur-YFk0XGP2jLT9lJivRQV-ibV9J-lRaXcXflRbmm2HfhzTT7v_ZZ6n9GilQhPQJDdj-nrcfjOTlGB9tz-VYty/s600/Captura.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="300" data-original-width="600" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiHsiG8r7RwIQ17n38OPheWChZ8irZQvFM91WwFKiflXvnFlwszINAdmzur-YFk0XGP2jLT9lJivRQV-ibV9J-lRaXcXflRbmm2HfhzTT7v_ZZ6n9GilQhPQJDdj-nrcfjOTlGB9tz-VYty/s320/Captura.JPG" width="320" /></a></div><br /><p style="text-align: justify;">La solución es 3.</p>Alejandro Fernández Jiménezhttp://www.blogger.com/profile/04620407736611495189noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-6427508360296366322.post-13673405761464737962020-09-22T10:00:00.019+02:002020-09-22T10:00:10.275+02:00ACERTIJO 118 - LA PROFESORA Y SUS ALUMNOS<p style="text-align: justify;"> Una profesora piensa en un número natural y le da la siguiente información a sus alumnos:</p><p style="text-align: justify;"><span> </span>1)<span style="white-space: pre;"> <span> </span></span>El número, o termina en 5 o es divisible por 7</p><p style="text-align: justify;"><span> </span>2)<span style="white-space: pre;"> <span> </span></span>O es mayor que 20, o termina en 9</p><p style="text-align: justify;"><span> </span>3)<span style="white-space: pre;"> <span> </span></span>O es múltiplo de 12 o es menor que 21</p><p style="text-align: justify;">¿Qué número ha pensado la profesora?</p><p style="text-align: justify;"><br /></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjlI_4-lmA-89_hoKRYjc2J067NdujksjN6AnmHhNlxCNTQJzN1crOHTAkTs7_1FGaZw-RWC8GNpyQnrfaG4HnVM2irBHEIOoEJNtgJDHFy4wMlTLUKMFZRVD4lcOFuEmY4YXD5nFF95Niu/s626/Captura.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="441" data-original-width="626" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjlI_4-lmA-89_hoKRYjc2J067NdujksjN6AnmHhNlxCNTQJzN1crOHTAkTs7_1FGaZw-RWC8GNpyQnrfaG4HnVM2irBHEIOoEJNtgJDHFy4wMlTLUKMFZRVD4lcOFuEmY4YXD5nFF95Niu/s320/Captura.jpg" width="320" /></a></div><br /><div style="text-align: justify;">La solución como siempre algo más abajo.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><span><a name='more'></a></span><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">SOLUCIÓN:</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiHsiG8r7RwIQ17n38OPheWChZ8irZQvFM91WwFKiflXvnFlwszINAdmzur-YFk0XGP2jLT9lJivRQV-ibV9J-lRaXcXflRbmm2HfhzTT7v_ZZ6n9GilQhPQJDdj-nrcfjOTlGB9tz-VYty/s600/Captura.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="300" data-original-width="600" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiHsiG8r7RwIQ17n38OPheWChZ8irZQvFM91WwFKiflXvnFlwszINAdmzur-YFk0XGP2jLT9lJivRQV-ibV9J-lRaXcXflRbmm2HfhzTT7v_ZZ6n9GilQhPQJDdj-nrcfjOTlGB9tz-VYty/s320/Captura.JPG" width="320" /></a></div><br /><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">La solución es 84.</div>Alejandro Fernández Jiménezhttp://www.blogger.com/profile/04620407736611495189noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-6427508360296366322.post-30106557217365292832020-09-19T10:00:00.001+02:002020-09-19T10:00:04.907+02:00ACERTIJO 117 - LA TIRA DOBLADA<p style="text-align: justify;"> La tira rectangular $ABCD$ de 5 cm de ancho y 50 cm de largo es blanca por el lado mostrado en la primera figura y gris por el otro. Doblando la tira, Cristina hace coincidir el vértice $B$ con el punto medio $M$ del lado $CD$. Doblándola otra vez, el vértice $D$ coincide con el punto medio $N$ del lado $AB$. </p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhVqPI668LvlC56fRIM7Yc6Wue6hfgRA1Fi6COLQ23ntDozJxI_z_G5WFlhha7h7FEKqB7x6Lof-Cs3bBfnHN-oXydZHmiHIwVqTA7oO_dB_1EpbV93aAqP4cTvF4ZAza9925rv1gkN6gTM/s834/Captura.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="164" data-original-width="834" height="79" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhVqPI668LvlC56fRIM7Yc6Wue6hfgRA1Fi6COLQ23ntDozJxI_z_G5WFlhha7h7FEKqB7x6Lof-Cs3bBfnHN-oXydZHmiHIwVqTA7oO_dB_1EpbV93aAqP4cTvF4ZAza9925rv1gkN6gTM/w400-h79/Captura.jpg" width="400" /></a></div><br /><p style="text-align: justify;">¿Cuál es el área, en $cm^2$, de la parte visible blanca de la última figura?</p><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;">La solución como siempre algo más abajo.</p><p style="text-align: justify;"><br /></p><span><a name='more'></a></span><p style="text-align: justify;">SOLUCIÓN:</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiHsiG8r7RwIQ17n38OPheWChZ8irZQvFM91WwFKiflXvnFlwszINAdmzur-YFk0XGP2jLT9lJivRQV-ibV9J-lRaXcXflRbmm2HfhzTT7v_ZZ6n9GilQhPQJDdj-nrcfjOTlGB9tz-VYty/s600/Captura.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="300" data-original-width="600" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiHsiG8r7RwIQ17n38OPheWChZ8irZQvFM91WwFKiflXvnFlwszINAdmzur-YFk0XGP2jLT9lJivRQV-ibV9J-lRaXcXflRbmm2HfhzTT7v_ZZ6n9GilQhPQJDdj-nrcfjOTlGB9tz-VYty/s320/Captura.JPG" width="320" /></a></div><br /><p style="text-align: justify;">La solución es 60</p>Alejandro Fernández Jiménezhttp://www.blogger.com/profile/04620407736611495189noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-6427508360296366322.post-45089637825528263302020-09-16T10:00:00.003+02:002020-09-16T10:00:06.233+02:00ACERTIJO 116 - NÚMEROS EN CÍRCULO<p style="text-align: justify;">Los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 9. 10 se escriben en círculo, en un cierto orden. Después, cada número se suma con el que tiene a su derecha y el que tiene a su izquierda y se obtienen otros diez números. ¿Cuál es el mayor valor posible del más pequeño de esos nuevos números?</p><p style="text-align: justify;"><br /></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEipJ-1vIdiwAxxvQ2h0Fo43Jtqn4UbwtTXCypjV4Dmppez-yQSCIu9ehNOSBG-17oI7vw4pi9lSP7j1G_DPE8Nt7opkX0tTanabemMoIR_Kwkiy0NKfxDOi8JcWCSIvUd8fDHhbbP1Doaoc/s473/Captura.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="364" data-original-width="473" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEipJ-1vIdiwAxxvQ2h0Fo43Jtqn4UbwtTXCypjV4Dmppez-yQSCIu9ehNOSBG-17oI7vw4pi9lSP7j1G_DPE8Nt7opkX0tTanabemMoIR_Kwkiy0NKfxDOi8JcWCSIvUd8fDHhbbP1Doaoc/s320/Captura.jpg" width="320" /></a></div><br /><p style="text-align: justify;">La solución como siempre algo más abajo.</p><p style="text-align: justify;"><br /></p><span><a name='more'></a></span><p style="text-align: justify;">SOLUCIÓN:</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiHsiG8r7RwIQ17n38OPheWChZ8irZQvFM91WwFKiflXvnFlwszINAdmzur-YFk0XGP2jLT9lJivRQV-ibV9J-lRaXcXflRbmm2HfhzTT7v_ZZ6n9GilQhPQJDdj-nrcfjOTlGB9tz-VYty/s600/Captura.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="300" data-original-width="600" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiHsiG8r7RwIQ17n38OPheWChZ8irZQvFM91WwFKiflXvnFlwszINAdmzur-YFk0XGP2jLT9lJivRQV-ibV9J-lRaXcXflRbmm2HfhzTT7v_ZZ6n9GilQhPQJDdj-nrcfjOTlGB9tz-VYty/s320/Captura.JPG" width="320" /></a></div><br /><p style="text-align: justify;">La solución es 15.</p>Alejandro Fernández Jiménezhttp://www.blogger.com/profile/04620407736611495189noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-6427508360296366322.post-91147705737295299922020-09-13T10:00:00.002+02:002020-09-13T10:00:03.594+02:00ACERTIJO 115 - LA DIANA<p style="text-align: justify;">Robin Hood lanza tres flechas al blanco, obteniendo los puntos que se indican en la figura si se clavan en las zonas indicadas: Las tres flechas alcanzan el blanco. ¿Cuántas puntuaciones diferentes puede obtener Robin de esta forma?</p><p style="text-align: justify;"><br /></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhKwWw8pt95qWPUfjJ0usn8cRUnBKMet8cPOtjFV5VZjDfpzBhyphenhyphenk7m0QBgA3EY9-zgDyp_B8kqgLZNttK-DwQHM8DyinMHyPAhl7UNT0l93FuOmk0v4LHE7u9V12-b5np-TKA3DasRo5XYl/s212/Captura.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="212" data-original-width="207" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhKwWw8pt95qWPUfjJ0usn8cRUnBKMet8cPOtjFV5VZjDfpzBhyphenhyphenk7m0QBgA3EY9-zgDyp_B8kqgLZNttK-DwQHM8DyinMHyPAhl7UNT0l93FuOmk0v4LHE7u9V12-b5np-TKA3DasRo5XYl/s0/Captura.jpg" /></a></div><br /><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: justify;">La solución como siempre algo más abajo.</p><p style="text-align: justify;"><br /></p><span><a name='more'></a></span><p style="text-align: justify;">SOLUCIÓN:</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiHsiG8r7RwIQ17n38OPheWChZ8irZQvFM91WwFKiflXvnFlwszINAdmzur-YFk0XGP2jLT9lJivRQV-ibV9J-lRaXcXflRbmm2HfhzTT7v_ZZ6n9GilQhPQJDdj-nrcfjOTlGB9tz-VYty/s600/Captura.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="300" data-original-width="600" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiHsiG8r7RwIQ17n38OPheWChZ8irZQvFM91WwFKiflXvnFlwszINAdmzur-YFk0XGP2jLT9lJivRQV-ibV9J-lRaXcXflRbmm2HfhzTT7v_ZZ6n9GilQhPQJDdj-nrcfjOTlGB9tz-VYty/s320/Captura.JPG" width="320" /></a></div><br /><p style="text-align: justify;">La solución es 19.</p>Alejandro Fernández Jiménezhttp://www.blogger.com/profile/04620407736611495189noreply@blogger.com0