martes, 8 de mayo de 2018

EL PROBLEMA DE LOS CUADRADOS

Hace ya algo más de un mes escribimos aquí sobre el Problema de Basilea, resuelto por Euler hace ya casi 300 años. Este problema era realmente complicado y es por eso que decidimos proponer otro problema más sencillo (y a mi parecer bastante "bello") para acotar está suma.

Recordemos todo esto rápidamente, el problema de Basilea pregunta lo siguiente:

¿Cuál es la suma infinita de los inversos de los cuadrados perfectos?


El problema de Basilea, arte urbano

Como ya hemos dicho antes la respuesta fue conseguida por Euler que demostró que el número buscado era un sexto de pi elevado al cuadrado. Sin embargo hay una forma "elemental" de conseguir una cota superior de este número, un resultado que sabemos que nuestra suma no superará. El enunciado del problema que nos da dicho valor es el siguiente:

Prueba que los cuadrados de lado 1, 1/2, 1/3 ... pueden ser colocados todos ellos dentro de otro cuadrado mayor de lado 3/2 sin que ninguno de los "cuadraditos pequeños" compartan algún punto interior (es decir, que no se intersequen).

La relación que mantiene este segundo enunciado con el anterior se basa en las áreas de los cuadrado, cada uno de nuestros infinitos cuadrados posee una superficie que coincide con el inverso de un cuadrado perfecto, al introducir todos ellos en un cuadrado de lado 3/2, habremos probado que la suma es inferior a 2.25 (3/2 elevado al cuadrado). 

Ya lo propusimos hace algo más de un mes en la entrada que hablaba sobre el problema de Basilea. Sin embargo, si no lo resolviste entonces te propongo que, antes de leer las siguientes líneas de este texto, cojas una taza con un buen café,  algo de papel y lápiz y que intentes tirar de imaginación y creatividad para solucionar este reto. Si tampoco te ves con ganas pero sientes curiosidad por saber como resolver este "acertijo" te animo a seguir leyendo, vamos a desgranar paso a paso este problema.


¿Estás preparado? Sí, pues vamos con ello.

Primero será preciso hablar sobre un concepto matemático que puede que no conozcas, las progresiones geométricas:

2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458, 4374, 13122...

Ahora mismo acabamos de ver una progresión con término inicial 2 y razón 3. Es decir comenzamos con el número 3 y cada uno de los términos siguientes de la sucesión lo conseguimos multiplicando por 3 el anterior.

Cuando la razón es un número menor que 1 (es decir el valor por el que multiplicamos para conseguir el siguiente término) podemos calcular la suma de los infinitos términos que componen la progresión, la fórmula que nos da este valor es la siguiente:
Aquí a_1 representa el término inicial y r la razón.

Bien, ahora que ya conocemos esta expresión vamos a comenzar a resolver el problema. Primero colocaremos los cuadrado más grande o "molesto", el de lado 1, de forma que nos obstruya lo menos posible. Introduciremos dicho polígono en una esquina:


Podemos dividir el espacio que nos deja en las siguientes tres secciones para ganar en comodidad:


Ahora que ya tenemos esta división del espacio, distribuiremos también los cuadrados restantes en 3 grupos, uno para cada recinto. Estos serán los grupos propuestos (marcamos solo el valor del lado para referirnos a cada cuadrado):

  1. Grupo 1 (1/2^j): 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64...
  2. Grupo 2: 1/3
  3. Grupo 3: El resto.
Los cuadrados de los Grupos 1 y 2 son muy sencillos de colocar. Comencemos con el grupo 1, vemos que sus longitudes coinciden con una progresión geométrica de término inicial y razón 1/2. Por tanto,  utilizando la fórmula anterior vemos que si colocamos un cuadrado detrás de otro su longitud total será 1. Dado que el cuadrado más "ancho" del Grupo 1 es 1/2 x 1/2, podemos introducir todos los cuadrados del Grupo 1 en un rectángulo de dimensión 1 x 1/2. Por ejemplo:


El rectángulo del Grupo 2 es muy sencillo de colocar, evidentemente podemos introducirlo en el recinto de dimensiones 1/2 x 1/2. Por ejemplo:


Ahora ya solo queda la parte más complicada, introducir los rectángulos del grupo 3 en el recinto de dimensiones 1 x 1/2. ¡Esta "hazaña" también se puede conseguir!

Se puede lograr de varias formas (aunque parezca algo anti-intuitivo, nos va a sobrar mucho espacio). Vamos a proponer una idea, dividamos los cuadrados del grupo 3 en distintos "bloques". Tomemos un bloque cualquiera j (empezando por j=2, los de j=1 veremos que se corresponde solo con 1/3 y ese ya está colocado), este contendrá los cuadrados que tienen longitudes desde 1/((2^j) +1) hasta 1/((2^j) +(2^j) -1), escrito matemáticamente quedaría como:


Así tenemos en cada bloque menos de 2^j cuadrados (por muy poquito, pero lo conseguimos) y además, todos y cada de esos cuadrados tienen lado menor que 1/(2^j) entonces al ponerlos uno detrás de otro nos queda que su longitud es inferior a 1 y la anchura de la hilera de cuadrados es inferior a 1/(2^j), empezando por 1/4, j=2 (recuerda, los cuadrados de lado 1/2 y 1/3 ya los hemos "colocado").

Ahora bien, ¿sigues recordando la fórmula de la suma infinita? pues este es un buen momento para utilizarla, al colocar cada una de las "hileras de cuadrados" colocamos los bloques j y todos ellos tienen una longitud inferior a 1/(2^j) empezando por j=2, esto quiere decir que su longitud es inferior a la suma de una progresión geométrica de término inicial 1/4 y razón 1/2, y usando nuestra fórmula vemos que el resultado es 1/2. Entonces es evidente que podemos introducir todos los cuadrados del grupo 3 en el rectángulo 1 x 1/2 si seguimos los pasos marcados por este algoritmo. La idea que acabamos de comentar podría resumirse con el siguiente dibujo:


Esta es una buena forma de ver geometricamente que la suma infinita de los inversos de los cuadrados perfectos es un número finito, y acabamos de acotarlo superiormente por 2.25. Leonhard Euler fue el encargado de descubrir el valor exacto de dicha suma, que aunque parezca poco intuitivo es un valor que ni siquiera llega a las 2 unidades, exactamente es pi al cuadrado dividido por 6, aproximadamente 1.64493406...

Leonhard Euler

Esto ha sido todo, espero que mi explicación se haya podido entender de forma más o menos clara. Me gustaría que me dejaseis en comentarios vuestra opinión sobre este tipo de entradas en las que resuelvo paso a paso un problema y si queréis que escriba más textos de este estilo.

Este problema ha sido tomado de las clases de problemas avanzados del profesor Dmitry Yakubovich.

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