ACERTIJO 109 - LOS n PRIMEROS NÚMEROS SUMAN

La suma de los primeros $n$ enteros positivos es un número de tres cifras iguales. ¿Cuánto vale la suma de las cifras de $n$?

La solución como siempre algo más abajo.

ACERTIJO 108 - RESTOS Y NÚMEROS DE DOS CIFRAS

¿Cuál es el mayor resto posible que puede obtenerse al dividir un número de dos cifras por la suma de sus cifras?

La solución como siempre algo más abajo.

ACERTIJO 107 - LA ALTURA DEL HERMANO

Cuatro hermanos, Teo, Adrián, Pedro y María, tienen diferentes estaturas. Teo es más bajo que Adrián tantos cm como es más alto que Pedro. Teo mide 184 cm, y el promedio de las estaturas de los cuatro hermanos es 178 cm. ¿Cuál es la estatura de María?

La solución, como siempre, algo más abajo

IMC 2019, MI PROBLEMA FAVORITO

El pasado verano, entre el 28 de julio y el 3 de agosto se celebró la vigésimo sexta edición de la International Mathematics Competition for University Students y tuve la suerte de poder asistir a la pequeña localidad búlgara de Blagoevgrad para representar a mi universidad, la Universidad Autónoma de Madrid, en esta competición tan interesante y disfrutar de la oportunidad de conocer a personas maravillosas y realmente interesantes de todas las partes del mundo. Recuerdo interminables partidas de los juegos más rocambolescos que podría haber imaginado, pachangas de baloncesto con compañeros de cuatro continentes distintos, charlas sorprendentes bajo la luz de la luna sobre los temas más curiosos que se me ocurren, desde política, educación hasta simplemente risas, partidas de ajedrez... y un montón de anécdotas más que seguro, tardaré mucho en olvidar. Pero para el que le interese acercarse a chismorreos y opiniones variadas, el año pasado, tras mi primera participación en este concurso decidí dar mi opinión sobre temas relevantes relacionados con el mundo de las olimpiadas: el primer oro de un español en una olimpiada científica preuniversitaria, reflexión de para que sirven estos concursos, su parecido con el deporte... y también en ese post se intenta transmitir la experiencia vivida durante la semana del concurso. Para todo aquel que esté interesado en esto, le recomiendo que lea la entrada del blog "Reflexión sobre las olimpiadas científicas y experiencia en la IMC". Aunque antes de comenzar con el tema de esta entrada, me gustaría concluir esta introducción de la misma forma que concluí mi reflexión del año anterior, que para mí es un motor que me empuja hacia delante.

Si disfrutas con lo que haces seguro que tendrás éxito.

Pero este es un blog de matemáticas y aquí hemos venido a hablar de lo que a todos nos gusta, matemáticas, y un concurso tan importante como este siempre es una buena excusa para hacerlo, ¿no creéis? La dinámica del mismo es muy sencilla durante dos días seguidos te sientas en una silla desde las 8 de la mañana hasta la 1 de la tarde para enfrentarte a 5 problemas cuyos enunciados ocupan como mucho 5 ó 6 líneas (aunque normalmente suelen ser 2 ó 3) pero que son más que suficiente para tenerte entretenido durante esas 5 horas y mucho más. Cada uno de esos problemas se puntúa de 0 a 10 (solo con enteros), 10 si lo tienes perfecto, 0 si no has obtenido nada relevante (aunque he de decir que visto "ceros" de gran calidad matemática) y si has obtenido algún resultado relevante para resolver el problema o introduces una idea potente con este mismo fin, pero sin terminar de probar el enunciado, se te adjudica una puntuación intermedia a criterio del corrector. Esta edición conseguí puntuar en seis de los diez problemas (aunque solo pudo ser puntuación perfecta en uno de ellos) para acumular un total de 35 puntos. Pero, no es mi intención hablar sobre cómo me desenvolví durante el examen, esta vez quiero hacer una de las cosas que más me gustan, resolver uno de los diez problemas de esta edición explicando el método para solucionarlo paso a paso, e intentar convencer al lector de que los que competimos aquí no tenemos por qué ser personas extraordinarias sino que cualquiera es capaz de entender la solución de uno de estos.

Tras todos estos preámbulos vamos a ello, el problema que he elegido es el problema 7 (el segundo del segundo día) que fue mi favorito (y el único en el que pude conseguir los 10 puntos), el enunciado que apareció el día de la competición (tras traducirlo del inglés) es el siguiente:

Sea $C = \left\lbrace 4, 6, 8, 9, 10, ... \right\rbrace $ el conjunto de los enteros positivos compuestos. Para cada $n \in C$ sea $a_n$ el entero positivo $k$ más pequeño que divide a $k!$ es divisible por $n$. Determina si la siguiente serie converge:

$\sum_{n \in C} \left( \dfrac{a_n}{n} \right)^n $

Propuesto por el profesor Orif Ibrogimov,

de la ETH Zurich y la National University of Uzbekistan.

ACERTIJO 106 - FABRICANDO VEINTES

La idea de este problema es crear el número 20 usando solo uno de los nueve dígitos seis veces o menos. Puedes usar los dígitos como más te guste, juntarlos para crear números de dos, tres, cuatro... cifras, usar cualquier símbolo, paréntesis, suma, resta, multiplicación, división o cualquier símbolo que se te ocurra tantas como necesites. ¿Puedes hacerlo con cada una de las nueve cifras?

La solución como siempre algo más abajo.

ACERTIJO 105 - 5 NÚMEROS CONSECUTIVOS

Álvaro quiere escribir 5 enteros positivos consecutivos, de manera que tres de ellos tengan la misma suma que los otros dos. ¿Cuántos conjuntos de 5 números puede escribir?

La solución se encuentra algo más abajo.

ACERTIJO 104 - LOS ALUMNOS MENTIROSOS

Irene pregunta a cinco de sus alumnos cuántos de ellos han estudiado el día anterior. Pablo dice "ninguno", Berta dice "uno", Ana dice "dos", Eugenio dice "tres" y Gerardo dice "cuatro", Irene sabe que los estudiantes que no han estudiado mienten pero los que han estudiado dicen la verdad. ¿Cuántos de esos cinco estudiantes estudiaron el día de antes?

La solución como siempre algo más abajo.

ACERTIJO 103 - LA a Y LA b

Los números a y b (ambos distintos de -1) satisfacen: 

Entonces, ¿podrías decirme cuál es el valor del producto de a por b?

La solución como siempre más abajo.

ACERTIJO 102 - CIRCUNFERENCIAS TANGENTES

En la figura se ven tres circunferencias tangentes dos a dos de diámetros 1, 2 y 3 respectivamente. El reto que se propone en este acertijo es calcular la longitud del arco señalado de rojo.

La solución como siempre algo más abajo.

ACERTIJO 101 - LAS PÁGINAS DEL LIBRO

Como cada septiembre volvemos con una horneada fresca de acertijos, al igual que el año pasado solo publicaremos diez distribuidos a lo largo del mes. 

Las páginas del libro que Julia está leyendo están numeradas. Los números de las páginas contienen la cifra 0 exactamente cinco veces y la cifra 9 exactamente seis veces. ¿Cuál es el número de la página final?

La solución se muestra más abajo.

LA DESIGUALDAD DE JENSEN

Recuerdo mis años olímpicos, esa alegría que emanaba en mi interior al probar y descubrir nuevas inquietudes. Gran parte de ellas giraban en torno a la prueba de desigualdades, problemas preciosos que siempre te sorprendían y amenizaban la tarde. Para lidiar con ellos aprendías a usar distintas herramientas, maquinaria de mayor o menor potencia, desigualdades con nombres y apellidos, habituales en las mentes de aquellos que se autodenominan "olímpicos". Una de estas desigualdades con derecho a nombre propio que siempre llamó mi atención es la desigualdad de Jensen, no entraña un concepto complicado, quizás, tampoco sea la herramienta más sofisticada ni la más usada (ese derecho queda reservado a otras) pero cuando lees esas palabras en una demostración, "desigualdad de Jensen", sabes que ha merecido la pena echar unas horas en tu problema, que la espera y el esfuerzo empleados merecieron la pena. Tu problema se resolverá con una de esas cosas a las que nos gusta referirnos como "ideas felices", o como nosotros entendemos en un lenguaje más mundano, lo que estás a punto de leer provocará una sensación orgásmica en tu cabeza, de éxtasis y de sorpresa porque vas a descubrir algo nuevo que maravillará tus sentidos.

Intuición detrás de la desigualdad de Jensen

EL PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES

No son pocos los antecedentes sobre fluidos con los que los griegos contaban. No obstante, estos se basaban en extraer alguna utilidad práctica y específica de algún fluido concreto (por lo general agua) pero no les preocupaba adquirir una comprensión de ellos que se saliese de aquello que necesitaban para su vida cotidiana, por decirlo con el lenguaje actual, la física teórica no les interesaba en la antigüedad, solo sus aplicaciones. De hecho, tuvo que llegar la civilización griega para introducir el concepto de física, siendo Aristóteles el primero en acuñar este término, combinación de dos vocablos griegos, ϕυσις (physis) que significa naturaleza y el sufijo -ico que quiere decir conocimiento. La física es la ciencia que se dedica al estudio de las transformaciones y cambios que sufre la materia y la naturaleza. Sin embargo, la física en el sentido moderno que conocemos hoy nació de la mano de Arquímedes, el primero en usar conceptos matemáticos y geométricos para explicar la realidad física. Consiguió adaptar la geometría de su época a fenómenos físicos realizando investigaciones basadas en el experimento, teniendo el ingenio y la astucia para centrarse solo en aquellas magnitudes que quisiese medir y adoptando el rigor como método de trabajo, tal y como destacaría el astrónomo Johannes Kepler varios siglos después.

“Podríamos obtener demostraciones perfectas de los libros de Arquímedes, a nosotros no nos repele la espinosa lectura de ellos.”

FRACTAL III - ROMANESCU

FRACTAL II - EL FRACTAL DEL TÉ

Tomada de la página web Taringa!

FRACTAL I - PENTALFAS

Durante toda esta semana colgaremos en este blog imágenes de fractales, objetos matemáticos interesantísimos y, ciertamente, algo desconcertantes, pero con una gran belleza visual indudable. Si te pica el gusanillo y quieres leer más sobre el concepto de fractal os recomiendo leer esta entrada publicada en este mismo blog hace 1 año:

Sobre fractales

Tomada de la página web Taringa!

¿CÓMO SABRÍAMOS QUE LA TIERRA NO ES PLANA USANDO MATEMÁTICAS?

En esta entrada vamos a intentar tratar una pregunta, aparentemente sencilla, para la que costó muchísimo esclarecer su respuesta y esta es la siguiente, ¿cómo podrías saber que la Tierra no es plana? La percepción que nos da nuestra primera intuición sobre la realidad que observamos es idéntica a la que percibiríamos si viviésemos en un plano, en un cilindro, o incluso en un objeto con la forma de un toro, ¿por qué no?

Sí, quizás estés pensando que, ahora mismo, la respuesta a esta pregunta es muy sencilla, basta con viajar hasta la Luna y desde allí, tranquilamente, te cercioras de que la Tierra es esférica. No obstante, con este argumento quizás no seas capaz de convencer a alguien que no ha viajado a la Luna. La siguiente idea natural que se nos ocurre, dar la vuelta a la Tierra, es un poco más de lo mismo, y también sería bastante dificultoso convencer con este argumento a alguien que no esté dispuesto a hacer ese viaje. ¿Existe alguna forma más sencilla y cotidiana de convencerse de este hecho? La respuesta es sí y podemos llegar a ella gracias a la maravillosa geometría. 

¿Cómo hacemos esto?, elegimos tres puntos de nuestra superficie (lo suficientemente separados para que los efectos de nuestra idea sean perceptibles) y los unimos, dos a dos, con los segmentos con la mínima longitud posible. Si medimos el valor de los ángulos con la suficiente precisión comprobaríamos que la suma de estos tres valores es estrictamente mayor de 180º. Pero... ¿esto concuerda con vivir en un plano?, no, pues en él, la suma de sus tres ángulos es siempre igual a 180º (se trata de una característica propia del plano), en cambio, sí que concuerda con el hecho de situarnos sobre una esfera. 

Por ejemplo, elijamos: el Polo Norte, un segundo punto cualquiera, situado sobre el ecuador y un tercero que también situado sobre el ecuador y que se sitúa a la misma distancia de nuestro primer y segundo punto (un triángulo equilátero  normal y corriente pero sobre la esfera). Observese que hemos dibujado un triángulo con tres ángulos rectos (de 90º grados), empiezas en el Polo Norte, caminas en línea recta hacia el Sur hasta llegar al ecuador, una vez llegamos aquí, giramos 90º grados y continuamos nuestro camino por el ecuador hasta que llegamos a nuestro tercer punto, donde giramos de nuevo otros 90º grados y caminamos una última vez en línea recta hacia el norte hasta volver al Polo Norte.

Esta entrada participa en la Edición 1 del Año X del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Tito Eliatron Dixit.

Reseñar que la última figura ha sido tomada del blog de El País "El Aleph". Aprovechando el inciso, os recomiendo que si os ha gustado esta entrada leáis el artículo completo escrito por Miguel Ángel Morales, en dicho post. En él, se explica minuciosamente porque cualquier mapa de la Tierra que intentemos dibujar sobre el plano siempre tendrá algún error. Si  te interesa el tema y quieres leer esa entrada de El País, simplemente haz click aquí.

MATEMÁTICAS EN EL ARTE SORIANO: IGLESIA DE SANTO DOMINGO

En las próximas semanas saldrá publicado en la revista Celtiberia (Soria) un artículo de investigación científica que escribí hace algún tiempo. Como divulgador (o por lo menos intento de ello) me parece que este es un tema perfecto para ejercer esa maravillosa tarea de transmitir conocimiento porque al haberme centrado tanto en investigarla lo conozco casi a la perfección.

La pretensión de esta entrada del blog es la de hacer un exhaustivo análisis artístico-matemático de uno de los edificios más icónicos de la capital soriana, la iglesia de Santo Domingo. En este artículo, intento estudiar el arte con el mayor rigor matemático posible, sin perder de vista la importancia de los conceptos histórico-artísticos más importantes de la época en la que se construyo este templo cristiano, siglos XII y XIII, es decir, en pleno románico.

Portada del Proyecto

A lo largo de la historia, cuando se han realizado las distintas obras de arte, ha sido común dotarlas de proporciones especiales con el fin de que resultaran bellas para el ojo humano. En el caso concreto de la religión cristiana la búsqueda de la belleza clásica no es su único fin, ya que el simbolismo religioso también se sustenta en el uso de proporciones. Esto se puede resumir perfectamente en una cita del investigador Juan F. ESTEBAN LORENTE  que dice: “El arquitecto quiere dignificar su oficio y lo presenta hija de la geometría (ciencia propia de quien no trabaja con las manos). Así surge el rigor del arquitecto como geómetra, con escuadra, compás y vara de medir. Instrumentos que pasan por los inicios de Dios y los santos. Apoyada por la imagen de Dios como arquitecto, representado con el compás en la creación.”.

Simplemente con estas últimas palabras podemos resumir perfectamente los que serán nuestros objetivos fundamentales: Buscar las proporciones consideradas "bellas" para el ojo humano escondidas en el edificio e identificar cuál es la importancia estructural que subyace en cada de ellas y cómo se manifiestan frente a nuestra percepción.

Iglesia de Santo Domingo. Soria

LA LEY DE STIGLER DE LOS EPÓNIMOS

Normalmente, descubrimientos científicos, teoremas, leyes, constantes, enfermedades... llevan el nombre de aquel que los descubrió. Por ejemplo, tenemos la enfermedad de Alzheimer, la constante de Euler, el último teorema de Fermat, la campana de Gauss, el cometa Halley... 

George Stigler