El pasado verano, entre el 28 de julio y el 3 de agosto se celebró la vigésimo sexta edición de la International Mathematics Competition for University Students y tuve la suerte de poder asistir a la pequeña localidad búlgara de Blagoevgrad para representar a mi universidad, la Universidad Autónoma de Madrid, en esta competición tan interesante y disfrutar de la oportunidad de conocer a personas maravillosas y realmente interesantes de todas las partes del mundo. Recuerdo interminables partidas de los juegos más rocambolescos que podría haber imaginado, pachangas de baloncesto con compañeros de cuatro continentes distintos, charlas sorprendentes bajo la luz de la luna sobre los temas más curiosos que se me ocurren, desde política, educación hasta simplemente risas, partidas de ajedrez... y un montón de anécdotas más que seguro, tardaré mucho en olvidar. Pero para el que le interese acercarse a chismorreos y opiniones variadas, el año pasado, tras mi primera participación en este concurso decidí dar mi opinión sobre temas relevantes relacionados con el mundo de las olimpiadas: el primer oro de un español en una olimpiada científica preuniversitaria, reflexión de para que sirven estos concursos, su parecido con el deporte... y también en ese post se intenta transmitir la experiencia vivida durante la semana del concurso. Para todo aquel que esté interesado en esto, le recomiendo que lea la entrada del blog "Reflexión sobre las olimpiadas científicas y experiencia en la IMC". Aunque antes de comenzar con el tema de esta entrada, me gustaría concluir esta introducción de la misma forma que concluí mi reflexión del año anterior, que para mí es un motor que me empuja hacia delante.
Si disfrutas con lo que haces seguro que tendrás éxito.
Pero este es un blog de matemáticas y aquí hemos venido a hablar de lo que a todos nos gusta, matemáticas, y un concurso tan importante como este siempre es una buena excusa para hacerlo, ¿no creéis? La dinámica del mismo es muy sencilla durante dos días seguidos te sientas en una silla desde las 8 de la mañana hasta la 1 de la tarde para enfrentarte a 5 problemas cuyos enunciados ocupan como mucho 5 ó 6 líneas (aunque normalmente suelen ser 2 ó 3) pero que son más que suficiente para tenerte entretenido durante esas 5 horas y mucho más. Cada uno de esos problemas se puntúa de 0 a 10 (solo con enteros), 10 si lo tienes perfecto, 0 si no has obtenido nada relevante (aunque he de decir que visto "ceros" de gran calidad matemática) y si has obtenido algún resultado relevante para resolver el problema o introduces una idea potente con este mismo fin, pero sin terminar de probar el enunciado, se te adjudica una puntuación intermedia a criterio del corrector. Esta edición conseguí puntuar en seis de los diez problemas (aunque solo pudo ser puntuación perfecta en uno de ellos) para acumular un total de 35 puntos. Pero, no es mi intención hablar sobre cómo me desenvolví durante el examen, esta vez quiero hacer una de las cosas que más me gustan, resolver uno de los diez problemas de esta edición explicando el método para solucionarlo paso a paso, e intentar convencer al lector de que los que competimos aquí no tenemos por qué ser personas extraordinarias sino que cualquiera es capaz de entender la solución de uno de estos.
Tras todos estos preámbulos vamos a ello, el problema que he elegido es el problema 7 (el segundo del segundo día) que fue mi favorito (y el único en el que pude conseguir los 10 puntos), el enunciado que apareció el día de la competición (tras traducirlo del inglés) es el siguiente:
Sea $C = \left\lbrace 4, 6, 8, 9, 10, ... \right\rbrace $ el conjunto de los enteros positivos compuestos. Para cada $n \in C$ sea $a_n$ el entero positivo $k$ más pequeño que divide a $k!$ es divisible por $n$. Determina si la siguiente serie converge:
$\sum_{n \in C} \left( \dfrac{a_n}{n} \right)^n $
Propuesto por el profesor Orif Ibrogimov,
de la ETH Zurich y la National University of Uzbekistan.
Antes de atacar el problema vamos a intentar discernir que es lo que se nos pide hacer en el enunciado. Se nos da un conjunto de números particular, en concreto, todos aquellos distintos del 1 y que no sean primos. Para cada uno de estos números $n$ de nuestro conjunto particular se pide ver cual es el entero más pequeño $k$ para el cual su factorial, $k!$ (es decir el producto de todos los enteros positivos menores o iguales que $k$) es divisible por este número del conjunto $n$, para diferenciar según a que $n$ nos estemos refiriendo a este $k$ que acabamos de calcular lo llamamos $a_n$.
Por ejemplo, para $n=4$ el menor entero $k$ para el cual $k!$ es divisible por $n$ es $4$, entonces $a_4 = 4$, por la misma razón $a_6 = 3$, $a_8 = 4$, $a_9 = 3$, $a_{10} = 5$, $a_{12} = 4$, ... (proponemos a aquel que haya llegado hasta este punto del post que reflexione e intente convecerse de que estas cifras son correctas).
Finalmente, se pide decidir si la suma de los infinitos términos de la forma $\left( \dfrac{a_n}{n} \right)^{n}$ es finita (es decir, serie convergente) o no.
Puede que eso de sumas de infinitos términos que suman un valor finito rechine un poco, pero esto es algo que ocurre bastante a menudo, piensa por ejemplo sabemos que:
$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2^3} + ... = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{2^n} = 1$
Este tipo de series se llaman series geométricas, y el valor que elevamos a una potencia $n$ en cada sumando se llama razón y si la razón es menor que 1 sabemos que el valor de esta suma de infinitos términos es finita (pese a que suene parecido a un trabalenguas).
Sabiendo esto, ¿por qué no intentamos acotar cada término $\dfrac{a_n}{n}$ por una constante $c$ que sea menor que $1$? De ser así, el problema quedaría resuelto y la respuesta sería sí. Con los ejemplos que hemos antes, nos damos que para todo $n$ distinto de $4$ teníamos la desigualdad $\dfrac{a_n}{n} \leq \dfrac{2}{3}$. El hecho de que solo haya un valor que incumpla esta condición no nos preocupa demasiado, ya $\dfrac{a_4}{4} = 1$ y su contribución nunca podrá hacer que algo deje de ser finito. Vamos a intentar averiguar si esta desigualdad que hemos intuido es cierta o no, ya nos hemos convencido de que si conseguimos confirmar nuestra intuición habremos concluido la prueba del problema.
Entonces, desde este momento nuestro objetivo es probar que $\dfrac{a_n}{n} \leq \dfrac{2}{3}$ para todo $n$ distinto de $4$ del conjunto $C$, ya que en tal caso
$\sum_{n \in C} \left( \dfrac{a_n}{n} \right)^n \leq \left( \dfrac{a_4}{4} \right)^4 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \dfrac{2}{3} \right)^n < \infty$
La forma más sencilla de probar que esto es cierto es dividiendo en tres casos separados. ¿Por qué? Esto nos permite hacer pruebas más sencillas ya que en cada uno de los casos añadimos nuevas hipótesis que nos "facilitan la vida", si no lo hiciéramos pronto nos daríamos cuenta de que la prueba es exageradamente complicada.
- Caso 1: $n$ tiene al menos dos divisores primos distintos. Entonces $n$ puede factorizarse como $n = q \cdot r$ para algunos enteros positivos coprimos y con ambos mayores o iguales que $2$. Para tener las cosas más sencillas podemos suponer sin pérdida de generalidad que $q > r$ (si fuese al revés la situación no cambiaría). Notese que $q | q!$ y $r | r!$ y, además como $r < q$ sabemos $r | q! $, por lo que $n = qr | q!$ lo que es suficiente para ver que $a_n \leq q$ y más concretamente:
$\dfrac{a_n}{n} \leq \dfrac{q}{n} = \dfrac{q}{qr} = \dfrac{1}{r} \leq \dfrac{1}{2}$
- Caso 2: $n$ es el cuadrado de un primo, $n = p^2$ para algún primo $p \geq 3$ (recordemos que era $n=4=2^2$ el número que no entraba dentro de nuestras teorías, por eso lo excluímos en este caso). Sabemos que $ p^2 | \left( p \cdot 2p \right)$ y en concreto $p^2 | \left( 2p \right) !$, obteniendo $a_n \leq 2p$, así que (usando también $p \geq 3$):
$\dfrac{a_n}{n} \leq \dfrac{2p}{n} = \dfrac{2p}{p^2} = \dfrac{2}{p} \leq \dfrac{2}{3}$
- Caso 3: $n$ es potencia de un número primo, $n = p^k$ para algún primo $p$ y $k \geq 3$ (recuerda que $k = 2$ lo acabamos de estudiar en el caso 2). Notemos que $n = p^k | p \cdot p^2 \cdot ... \cdot p^{k-1}$ por lo que $p^k | \left( p^{k-1} \right) !$, eso claramente implica $a_n \leq p^{k-1}$ y en consecuencia:
$\dfrac{a_n}{n} \leq \dfrac{p^{k-1}}{p^k} = \dfrac{1}{p} \leq \dfrac{1}{2}$
Con esto hemos demostrado que el objetivo que nos habíamos marcado al principio, y tal y como antes habíamos explicado, esto es suficiente para convencerse de que nuestra respuesta es sí, dando una solución completa para nuestro problema 7 de la edición 2019 de la IMC.
- Fin de la solución -
Espero que esta entrada haya cumplido su objetivo y te hayas convencido de que resolver un problema como este, con el correcto entrenamiento, se encuentra al alcance de cualquiera, da igual el nombre que tenga la competición.
Si te ha picado el gusanillo al resolver este problema te recomiendo que lo intentes con los otros nueve de la IMC, te dejo aquí los enlaces para que puedas echarles una ojeada.
¿Quién sabe? Quizás algún día seas tú el que se ponga detrás de una pantalla a contar tus experiencias en olimpiadas y a teclear la solución del problema que más te gustó. Puedo garantizarte que la oportunidad de participar en un concurso como este y conocer y charlar con gente de todo el globo es algo simplemente..., precioso, así que, ¡ánimo y mucha suerte!
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| Equipo UAM IMC-2019 (Equipo 29º de 77) |
Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta octogésima cuarta edición, también denominada X.4, está organizado por @maytejromera a través de su blog Qué vamos a hacer hoy.
Nota: Si las fórmulas no se ven bien, prueba a leer esta entrada desde el ordenador (leer las fórmulas con código LATEX merece la pena).
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