RETO (DECUBRIENDO LAS MATEMÁTICAS) - COMPLETA LA MULTIPLICACIÓN

 ¿Qué dígitos se han omitido en la siguiente multiplicación?

2 * *         

$\times$ * *         

_____________         

* 6 1         

+    *  * 4                 

     _____________    

* * 0 1         

Problema 1 XXXV Primera Fase Olimpiada Matemática Española 1999

Este problema es un reto de Matemático Soriano. ¿No sabes qué son los retos? Lee la entrada retos matemáticos. La idea es debatir la solución de este problema en la sección de comentarios, seguro que tenemos un debate lleno de ideas maravillosas.

RETO (DESCUBRIENDO LAS MATEMÁTICAS) - DESCOMPONIENDO 2025

 Determina razonadamente la cantidad de valores distintos que aparecen en la sucesión

$\lfloor \frac{2025}{1} \rfloor, \lfloor \frac{2025}{2} \rfloor, \lfloor \frac{2025}{3} \rfloor, \ldots, \lfloor \frac{2025}{2024} \rfloor, \lfloor \frac{2025}{2025} \rfloor$.

Problema 1 LXI Olimpiada Matemática Española 2025

*Con la notación $\lfloor x \rfloor$ nos referimos al mayor entero menor o igual que $x$. Por ejemplo, $\lfloor \frac{5}{2} \rfloor = 2$ ó $\lfloor 2 \rfloor = 2$.

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RETO (CAFÉ Y TEOREMAS) - ARCOTANGENTES

 Decide si existen o no $15$ enteros $m_1$, $\cdots$, $m_{15}$ tales que

$\sum_{k=1}^{15} m_k \cdot \arctan (k) = \arctan (16)$ . 

Problema de Gerhard Woeginger, Eindhoven University of Technology.

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RETO (CAFÉ Y TEOREMAS) - FICHAS DE DOMINÓ

Sea $n$ un entero positivo. En un tablero de $2n \times 2n$ casillas se colocan dominós de manera que cada casilla del tablero sea adyacente a exactamente una casilla cubierta por un dominó. Para cada $n$, determine la mayor cantidad de dominós que se pueden poner de esa manera.

Nota: Un dominó es una ficha de $1 \times 2$ o de $2 \times 1$ cuadrados unitarios. Los dominós son colocados en el tablero de manera que cada dominó cubre exactamente dos casillas del tablero y los dominós no se superponen (no se traslapan). Decimos que dos casillas son adyacentes si son diferentes y tienen un lado en común.

Problema 2 VIII EGMO 2019 (Ucrania).

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RETO (CAFÉ Y TEOREMAS) - UNA DESIGUALDAD ALGO PECULIAR

 Demostrar que para todo entero $n>1$ se cumple:

$1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot ... \cdot \left( 2n - 1 \right) < n^n$

Problema propuesto en la Olimpiada de Alemania de 1990.

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RETO (DESCUBRIENDO LAS MATEMÁTICAS) - CONSECUTIVOS PARA CONSTRUIR CUADRADOS Y CUBOS

Probar que el producto de cuatro naturales consecutivos no puede ser ni cuadrado ni cubo perfecto.

Problema 5 XLII Olimpiada Matemática Española 2006

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RETO (CAFÉ Y TEOREMAS) - SUMAS DE 100 TÉRMINOS MUY CURIOSOS

Sean $x_1$, ..., $x_{100}$ números reales no negativos tales que $x_i + x_{i+1} + x_{i+2} \leq 1$ para todo $i = 1, ..., 100$ (aquí consideramos $x_{101}=x_1$ y $x_{102}=x_2$. Encontrar el máximo valor posible para la suma

$S = \sum_{i=1}^{100} x_i x_{i+2}$

Problema propuesto por Rusia en la Shortlist IMO 2010 (Astana).

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RETO (CAFÉ Y TEOREMAS) - ENTEROS EN FORMA DE POTENCIA

¿Existen infinitos enteros positivos que no pueden representarse de la forma 

$a^3 + b^5 + c^7 + d^9 + e^{11}$

donde $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ son enteros positivos? Razónese la respuesta.

Problema 4 XLIX Olimpiada Matemática Española 2013.

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RETO (DESCUBRIENDO LAS MATEMÁTICAS) - NÚMEROS CONSECUTIVOS

Halla todas las sucesiones finitas de $n$ números naturales consecutivos $a_1$, $a_2$, ..., $a_n$, con $n \geq 3$, tales que $a_1+a_2+...+a_n = 2009$.

Problema 1 XLV Olimpiada Matemática Española 2009.

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RETO (DESCUBRIENDO LAS MATEMÁTICAS) - ECUACIONES DIOFÁNTICAS Y EXPONENCIALES

Encuentra todas las ternas de enteros no negativos que satisfacen la ecuación

$2^x + 3^y \, = \, 4^z$

Problema de Nguyen Viet Hung.

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RETO (CAFÉ Y TEOREMAS) - MATRICES REVOLTOSAS

Para cualquier entero $n \geq 2$ y dos matrices de tamaño $ n \times n$ con entradas reales $A$ y $B$ se satisface la relación:

$A^{-1} + B^{-1} \, = \, \left( A + B \right)^{-1}$

demostrar que, si $A$ y $B$ satisfacen la relación que acabamos de enunciar, entonces $det \left( A \right) = det \left( B \right)$.

Problema de Zbigniew Skoczylas, Wroclaw University of Technology.

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RETO (DESCUBRIENDO LAS MATEMÁTICAS) - UN NÚMERO MUY COMPLETO

De un número $x$ sabemos que es entero y que si lo divides entre $2$ se obtiene un cuadrado perfecto, si lo divides entre $3$ se obtiene un cubo perfecto y si lo divides entre $5$ se obtiene un número entero que es la potencia quinta de otro. ¿Podrías encontrar algún número que cumpla esto?

Problema de la XXII Olimpiada Regional de Matemáticas (CyL) Prueba individual 4º ESO.

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NUEVA SECCIÓN. RETOS MATEMÁTICOS

Bueno, vamos a probar una idea que he tenido para hacer un poco más llevadera la cuarentena. Recuerdo, cuando entrenaba para competir en Olimpiadas matemáticas, podía pasarme tardes resolviendo problemas, absorto en mis pensamientos y, que, cuando miraba el reloj habían pasado 1, 2 ó 3 horas... (y a veces el delirio duraba incluso más), pero yo me entretenía muchísimo y disfrutaba retándome a mí mismo. 

Intentando reproducir estas agradables tardes en, una versión más colaborativa, se me ha ocurrido usar el blog Matemático Soriano. De forma periódica iré colgando dos retos, uno más sencillo, family friendly para cualquiera y un segundo que prometo, intentaré por todos los medios posibles que sea resolver al primer golpe de vista. Pues, encontrar la respuesta a la primera no es el objetivo de estas entradas, la idea es pegarse con el problema para intentar ir deduciendo la solución poco a poco e ir comentando estos pequeños progresos en la sección de comentarios hasta crear una especie de foro de debate en la que se argumente y se discuta sobre el camino a seguir para resolver el reto.

Café y Problemas