De un número $x$ sabemos que es entero y que si lo divides entre $2$ se obtiene un cuadrado perfecto, si lo divides entre $3$ se obtiene un cubo perfecto y si lo divides entre $5$ se obtiene un número entero que es la potencia quinta de otro. ¿Podrías encontrar algún número que cumpla esto?
Problema de la XXII Olimpiada Regional de Matemáticas (CyL) Prueba individual 4º ESO.
Este problema es un reto de Matemático Soriano. ¿No sabes qué son los retos? Lee la entrada retos matemáticos. La idea es debatir la solución de este problema en la sección de comentarios, seguro que tenemos un debate lleno de ideas maravillosas.
Nos hablan de un número $x$ que al hacer $2^{-1} \cdot x = y^2$, $3^{-1} \cdot x = z^3$, $5^{-1} \cdot x = w^5$, siendo todos ellos números enteros.
ResponderEliminarPara que cumpla todas estas condiciones, su descomposición en factores primos debe ser de la forma $x = 2^l \cdot 3^m \cdot 5^n$.
- $l$ tendrá que ser impar (1ª condición), múltiplo de 3 (2ª condición) y de 5(3ª condición). Por lo tanto, un valor posible es 15.
- $m$ tendrá que ser par (1ª condición), $m+1$ múltiplo de 3 (2ª condición), y $m$ múltiplo de 5 (3ª condición). Un valor posible es 20.
- $n$ tendrá que ser par (1ª condición), múltiplo de 3 (2ª condición) y $n+1$ múltiplo de 5 (3ª condición). Un valor posible es 24.
Así pues, una solución al problema sería $x = 2^{15} \cdot 3^{20} \cdot 5^{24}$.
Corrijo. $m-1$ es el que tiene que ser múltiplo de 3 y $n-1$ el que tiene que ser múltiplo de 5. Por lo tanto, la posible solución es:
Eliminar$x = 2^{15} \cdot 3^{10} \cdot 5^{6}$.
Correcta la puntualización, de hecho, por generalizar el argumento que acabas de dar todo número $x$ debe poder expresarse de la forma.
Eliminar$x = 2^{15} \cdot 3^{10} \cdot 5^6 \cdot k^{30}$
Donde $k$ es un entero cualquiera.
Os dejo que penséis por qué