Encuentra todas las ternas de enteros no negativos que satisfacen la ecuación
$2^x + 3^y \, = \, 4^z$
Problema de Nguyen Viet Hung.
Este problema es un reto de Matemático Soriano. ¿No sabes qué son los retos? Lee la entrada retos matemáticos. La idea es debatir la solución de este problema en la sección de comentarios, seguro que tenemos un debate lleno de ideas maravillosas.
He llegado desde twitter, empiezo yo:
ResponderEliminarSi x e y son enteros positivos, su suma sería un número impar, y por tanto no podría ser igual a $4^z$. Por lo que deducimos que o bien $x=0$ o bien $y=0$. Creo que lo voy a dejar aquí :)
x=2z
ResponderEliminarCreo que únicamente x=0, y=1, z=1. Mi razonamiento es el siguiente:
ResponderEliminarX debe ser 0 por la razón señalada por nuestro compañero JJ. Luego tenemos: 3^y= 4^z-1. 4^z-1= (2^z)^2-1 puede descomponerse en (2^z-1)•(2^z+1);esto nos lleva a 3^y=(2^z-1)•(2^z+1). Obsérvese que 2^z-1 y 2^z+1 son números impares consecutivos. Dicho con palabras, debe encontrarse una pareja de números impares consecutivos cuyo producto sea potencia de tres, pero adviértase que, evidentemente, dos impares consecutivos no pueden ser múltiplos de tres simultàneamente, de modo que la única manera de que su producto sea potencia de tres es que uno de ellos sea 1, y ésto precisamente sólo sucede en el caso x=0, y=1, z=1. 4^1-1=1•3=(2^1-1)•(2^1+1).