Para cualquier entero $n \geq 2$ y dos matrices de tamaño $ n \times n$ con entradas reales $A$ y $B$ se satisface la relación:
$A^{-1} + B^{-1} \, = \, \left( A + B \right)^{-1}$
demostrar que, si $A$ y $B$ satisfacen la relación que acabamos de enunciar, entonces $det \left( A \right) = det \left( B \right)$.
Problema de Zbigniew Skoczylas, Wroclaw University of Technology.
Este problema es un reto de Matemático Soriano. ¿No sabes qué son los retos? Lee la entrada retos matemáticos. La idea es debatir la solución de este problema en la sección de comentarios, seguro que tenemos un debate lleno de ideas maravillosas.
Buenas tardes!
ResponderEliminarLo que me pide a mí una ecuación así es simplificarla un poco: si multiplicas por (A+B), por la izquierda, a ambos lados, te queda que I+A*inv(B)+B*inv(A)=0. Pero de hecho B*inv(A)=(A*inv(B))^{-1}, así que escribiendo X=A*inv(B), la ecuación que teníamos es I+X+X^{-1}=0.
¿A dónde queríamos llegar? Realmente, a que det(X)=1, esto es equivalente a lo que se nos pide demostrar. Así que hemos reescrito el problema en términos de una sola "variable" (matricial), que por construcción es invertible...
Debería ser más fácil ahora, aunque a veces convertir una variable en 2 es un truco muy útil en matemáticas (por ejemplo, cuando queremos probar que si T es una isometría aditiva de R^{n} entonces preserva ángulos: esto es, una aplicación que va de R^{n} en sí mismo, tal que preserva la distancia al origen y tal que T(x+y)=T(x)+T(y). Entonces, doblando variables, la condición ||T(x)||_2=||x||_2 se convierte, usando la aditividad, en que T conserva el producto escalar, y por tanto ángulos.
También se puede probar por continuidad que T es R-lineal de hecho, y biyectiva por ser inyectiva y por dimensiones, pero eso son otras cuestiones).
Volviendo a la ecuación que teníamos, multiplicando por X queda X^2+X+I=0. Y aunque la multiplicación de matrices no es conmutativa, lo cual impediría que (a^2+ab+b^2)(a-b)=a^3-b^3 en general, en nuestro caso solo tenemos una variable X y otro elemento que es la identidad I, y estos conmutan entre sí. No hay peligro en escribir entonces (I^2+I*X+X^2)(X-I)=X^3-I^3=X^3-I, esto es 0 por serlo el primer término, y llegamos a algo sencillo!
X^3=I
Que, de paso, resuelve el problema tomando determinantes, ya que det(X) es real:
det(X)^3 = det(X^3) = det(I)=1, y como det(X) real, det(X)=1.
Es decir, det(A)=det(B)
Hay otro problema del estilo, de matrices cuadradas con entradas reales, y de tamaño nxn, que es muy curioso!
Lo pongo por si alguien se ha quedado con hambre :P
Si A,B son 2 matrices de las descritas, y c,d son números reales no nulos, demuestra que AB=cA+dB implica que AB=BA. Pruébese, si también se quiere, que esto es falso en general si c=0 o d=0!
Muchas gracias Dani, los comentarios son muy interesantes, con tu permiso cojo tu problema para colgarlo en alguno de los próximos retos y generar otro debate.
EliminarPero, no te preocupes, tengo una larga lista de problemas preparados para entrar en el blog, solo tengo que decidir cuáles son más interesantes :P
Por ejemplo, qué pasa con este problema si admites como hipótesis que las matrices $A$ y $B$ tengan entradas complejas, ¿sigue siendo cierto el enunciado?