LA DESIGUALDAD DE JENSEN

Recuerdo mis años olímpicos, esa alegría que emanaba en mi interior al probar y descubrir nuevas inquietudes. Gran parte de ellas giraban en torno a la prueba de desigualdades, problemas preciosos que siempre te sorprendían y amenizaban la tarde. Para lidiar con ellos aprendías a usar distintas herramientas, maquinaria de mayor o menor potencia, desigualdades con nombres y apellidos, habituales en las mentes de aquellos que se autodenominan "olímpicos". Una de estas desigualdades con derecho a nombre propio que siempre llamó mi atención es la desigualdad de Jensen, no entraña un concepto complicado, quizás, tampoco sea la herramienta más sofisticada ni la más usada (ese derecho queda reservado a otras) pero cuando lees esas palabras en una demostración, "desigualdad de Jensen", sabes que ha merecido la pena echar unas horas en tu problema, que la espera y el esfuerzo empleados merecieron la pena. Tu problema se resolverá con una de esas cosas a las que nos gusta referirnos como "ideas felices", o como nosotros entendemos en un lenguaje más mundano, lo que estás a punto de leer provocará una sensación orgásmica en tu cabeza, de éxtasis y de sorpresa porque vas a descubrir algo nuevo que maravillará tus sentidos.

Intuición detrás de la desigualdad de Jensen

¿Qué dice exactamente la desigualdad de Jensen? Para aquellos que sepan algo más de matemáticas les recomiendo leer la definición rigurosa que da Fernando Revilla en su página web y que enuncia:

Para aquellos que no sean tan expertos en la materia (y para los que sí lo son también) os muestro una pequeña explicación para entender que dice este enunciado. La idea básica que subyace detrás de esta desigualdad es muy sencilla, esta se resume en usar las concavidades y convexidades existentes en nuestra función y aprovecharlas en nuestro favor (usemos esa magia matemática que tanto placer nos provoca). En algo que es cóncavo o convexo, al tocar dos de sus puntos con una recta, todo aquello que se sitúe entre dichos dos puntos quedará siempre por encima o por debajo del segmento con el que estamos trabajando (según si usamos una función cóncava o una convexa). 

Desigualdad de Jensen función cóncava

Desigualdad de Jensen función convexa

De hecho, para visualizarla mejor se puede trastear con este archivo de GeoGebra creado por Ignacio Larrosa Cañestro.

La idea es... trivial, ¿no? ¿Cómo puede ser que una idea tan sencilla provoque resultados tan potentes? Esperad..., y entenderéis de donde viene mi asombro. Hace unos años recuerdo que me tocó lidiar con el siguiente enunciado en la única fase nacional en la que he competido.

Problema 6 - Olimpiada Matemática Española 2016

¿Por qué? ¿Qué tiene este problema que ver con el tema que aquí nos ocupa? Este problema, por lo menos a primera vista, no parece que de pie a buscar recovecos, ni agujeros por los que introducir la maquinaria que estamos presentando, la estructura del problema invita a probar suerte con otro tipo de estrategias. Eso piensa mi cabeza ahora y eso pensaba entonces...

Este tipo de concursos tienen una forma dulce y a la vez cruel de enseñarte en que te has equivocado. Es habitual que nada más salir del examen del segundo día, mientras te atiborras a dulce para recuperar el color de la cara y te secas el sudor con las pocas fuerzas que te quedan te entreguen, como quien no quiere la cosa, un pequeño librillo con los enunciados de los problemas con los que te has estado pegando y... las soluciones de estos (que solo sirve para desmoralizarte, porque el que estás seguro que tienes bien siempre lo está y para aquel en el que tienes alguna duda, y sobre todo, alguna esperanza, el solucionario solo te sirve para que, impotente, te preguntes, "¿por qué no hice eso?, si tampoco era tan difícil", o por lo menos eso me ocurre a mí en todos los concursos).

Recuerdo cuando los otros participantes por Castilla y León y yo nos pusimos a leer la solución de este impresionante problema 6 en el susodicho cuadernillo, nuestras palabras fueron, "¡Madre mía! ¿Cómo puede ser que la demostración empiece con la desigualdad de Jensen?", ni aunque me hubiesen dado una semana entera se me habría ocurrido una solución tan bella y elegante usando como paso clave este objeto matemático tan entrañable y a primera vista inocuo.

Para los que quieran ver la solución oficial que dio el jurado de esta competición no tienen más que seguir este enlace. En esta entrada solo diremos que la prueba se basa en crear una función convexa auxiliar que depende del producto de las x, y, aprovechando que la suma de los términos y es exactamente 1, podemos iterar varias veces la desigualdad de Jensen para conseguir un primer resultado que casi "mata" el problema. No obstante, si sientes curiosidad por saber cual es la prueba exacta yo no me siento capacitado para explicarla mejor de lo que se hace en el enlace que he dejado hace unas líneas. Me doy por satisfecho con ser capaz de transmitir la idea de que Jensen es mucho más potente de lo que puede parecer al mirarlo por primera vez, permite atacar, con éxito, problemas realmente complicados y los resultados que obtienes tras usarlo son... mmm, ¿cómo decirlo?, cuando consigues embeberte tanto en la dinámica del problema, un recurso tan inesperado, tan impactante y sorprendente como este genera un agradable cosquilleo que recorre toda tu mente. Estas sensaciones son habituales en matemáticas y más en este tipo de concursos, por eso, probablemente, sean capaces de encandilar a tantas personas.

Johan Jensen

Esta última reflexión encaja muy bien con el título de esta entrada, pues a quien debe su nombre, Johan Jensen, no era matemático de oficio, él era ingeniero y desarrollo su trayectoria laboral en la Compañía Telefónica de Copenhague. Las matemáticas no eran más que un hobby para él, nunca ocupó una posición académica y todos sus conocimientos sobre matemáticas avanzadas fueron adquiridos de forma autodidacta. Aún así, se las apañó para hacer aportaciones de cierta relevancia a esta disciplina. No es el único ejemplo famoso de matemático "aficionado", Pierre de Fermat (apodado "príncipe de los aficionados") era abogado de profesión y solo hacía aportaciones matemáticas por pura diversión (como de modo similar algunos aristócratas escribían poesía para matar los ratos muertos). Pese a esta condición, es considerado uno de los mejores matemáticos de su época y es el padre de alguno de los enigmas más famosos de la historia. Como por ejemplo la conjetura de Fermat, unas pocas anotaciones dejadas en el margen de un libro en las que presumía de haber encontrado la solución a un problema maravilloso. Lástima que se encontraran tras la muerte de este genio de los números..., pues tomó sobre unos 300 años (e innumerables intentos fallidos de los más prestigiosos matemáticos) hasta que Andrew Wiles pudiera demostrarlo en 1995.

Pierre de Fermat

Es una bonita reflexión y una excelente forma de concluir con este texto, todo el mundo, independientemente del bagaje académico que tenga, tiene la posibilidad de disfrutar de esta ciencia a la que, a algunos, nos provoca un cosquilleo y un hormigueo en el estómago difíciles de describir.