domingo, 12 de diciembre de 2021

EL ARTE DE DOMAR EL VIENTO

Últimamente este blog ha estado bastante inactivo, afortunadamente hacía bastante tiempo desde la última vez que pasaron más de dos meses entre dos entradas. Este fin de año, no me ha quedado más remedio que hacer un pequeño parón. Me he mudado de ciudad, con todo lo que ello conlleva y eso ha provocado que decaiga mi actividad en las redes a casi cero. Pero... No todas las noticias son malas, pues la entrada de hoy la estoy escribiendo a partir de cosas que he aprendido por estos nuevos lares.


Comencemos con la historia, a mediados de febrero recibí una oferta para trabajar como alumno de doctorado en la Universidad de Oxford bajo la supervisión del Prof. José Antonio Carrillo. Hasta ahí la primera parte de la historia, ahora viene la que nos atañe para el caso particular de hoy. Siempre he sido un fan acérrimo de la Fórmula 1, y aquí en la universidad de Oxford existe un club llamado "Oxford University Racing" en el que sus miembros se reúnen semanalmente para construir un coche eléctrico tipo fórmula con el que competir en Silverstone en julio. Así que no me lo pensé dos veces y me uní a él.

En concreto, formo parte del equipo de simulaciones, a grandes rasgos queremos simular cuál es el rendimiento esperado de nuestro coche en el circuito del concurso, Silverstone, para poder optimizar las características de este. Por ejemplo, algo muy importante, es decidir de antemano como gestionar la batería eléctrica de la forma más óptima. Uno de los problemas más habituales en estas carreras es que los coches no consiguen acabarlas porque se quedan sin batería antes. Por supuesto, hay más cosas que estas simulaciones nos ayudan a entender, como se desgastan los neumáticas, elegir la trazada ideal para el circuito, decidir el reparto de pesos, etcétera. 

En mi caso concreto, estoy enrolado en un subproyecto que pretende desarrollar un programa para entender la aerodinámica de nuestro coche, a grandes rasgos como frena el viento nuestro coche según la situación en la que este se encuentre, e integrarlo en esta simulación de la que acabamos de hablar.

¡Vamos a domar el viento! Con... ¿un ordenador?, y el viento es un fluido... Por lo que el plan es usar CFD, Computational Fluid Dynamics, o en español, Dinámica de fluidos computacionales. Tiene sentido, ¿no? Pero... antes, paso a paso, después este es un blog de matemáticas, habrá que preguntarse, ¿qué es lo que estamos haciendo?

Líneas de flujo que produce el coche. Fotografía de theansweris27.com.

Las ecuaciones detrás del estudio de fluidos son en verdad bastante famosas. Si te digo ecuaciones de Navier-Stokes, probablemente, este par de nombres no te digan nada. Pero, si te digo que estas son la esencia de uno de los 7 problemas de un millón de dólares, seguramente te suenen más.

En lenguaje matemático moderno estas se enuncian de la siguiente forma

$\frac{\partial u(x,t)}{\partial t} + u(x,t) \cdot \nabla u (x,t) = - \frac{\nabla P }{\rho} + \nu \nabla^2 u (x,t)$,

donde $u$ representa la velocidad del fluido en un punto $x$ y para un tiempo $t$, $P$ es la presión del fluido, $\rho$ su densidad y $\nu$ su viscosidad. 

La parte de la izquierda representa lo que se conoce como derivada material. A grosso modo, la derivada material sigue la evolución de cada una de las partículas del fluido. El término de la derecha describe las leyes por las que se rigen los movimientos de las partículas.

$-\nabla P$ relaciona la velocidad del fluido con la diferencia de presión entre dos puntos, mientras que el término de viscosidad $\nu \nabla^2 u$ modeliza una difusión, que "frena" el fluido.

La ecuación de Navier-Stokes. Fotografía tomada de Comsol.

Como ya habrás podido imaginar, si este es uno de los problemas del millón de dólares, estará muy alejado de ser fácil. De cierta manera, este hecho es el que da sentido al desarrollo del CFD, entender el comportamiento de un fluido es realmente útil pero nuestra sociedad todavía no ha desarrollado las herramientas matemáticas necesarias para poder estudiarlas adecuadamente. Por ello, no nos queda más remedio que intentar entender el problema desde otro ángulo. El auge de los ordenadores durante estos últimos años, los convierte en una alternativa razonable, nunca estaremos seguros de que los resultados son completamente fiables hasta que tengamos suficientes conocimientos matemáticos, pero, de momento, funcionan razonablemente bien. 

Bien, una vez entendidas más o menos las mates que hay detrás queremos que el método numérico sea lo más sencillo posible. En nuestro proyecto, usamos una técnica conocida como el método de elementos finitos para calcular la resistencia al aire y el efecto de downforce (o "cuanto se pega al suelo") de nuestro coche. 

Primero, discretizamos el dominio en un conjunto finito de volúmenes de control. En este caso con dominio nos referimos a la carrocería del coche, y con discretizar queremos decir que estamos dibujando una aproximación con polígonos de lo que sería la carrocería real (cuanto más pequeños sean los polígonos más acertada será la aproximación), normalmente triángulos, como en este ejemplo en el que se discretiza un Fórmula 1.

Triangulación de un coche de Fórmula 1. Fotografía de Wolf et al.

La idea es resolver las ecuaciones en cada uno de los triangulitos. Esto sigue siendo muy complicado, así que lo que vamos a hacer es discretizar la ecuación en cada triangulito en un sistema de ecuaciones algebraicas, de esos facilones que estabas haciendo todo el día en el instituto. Por supuesto, esto no es completamente exacto, pero haciéndolo en triángulos pequeños y no todo el dominio de una vez hace que el error sea muchísimo menor (incluso aceptable), al final, solo hay que resolver un sistema de ecuaciones monstruosamente grande, que para un ordenador no es ningún problema.

Claro esta, no he contado toda la historia, quedan varios detalles. Por ejemplo, no hemos dicho nada sobre como "se discretizan las ecuaciones". Esto se suele hacer suponiendo que conoces alguna información sobre la solución (por ejemplo un dato inicial con el que arrancar o algo por el estilo), discretizas/simplificas la ecuación y das a la manivela para usar toda la maquinaria que hemos descrito. Esto, concluye dándote más información sobre la solución a partir de este dato inicial del que arrancabas, algo que se parece más a lo que debería ser la solución real. Repitiéndolo varias veces nos vamos acercando más y más, siendo ese el juego. Una vez decidido el criterio de convergencia que vamos a usar y el error que queremos satisfacer todo queda a merced de la capacidad de nuestro ordenador.

Por supuesto, esto se podría alargar muchísimo más. Hay personas que dedican toda su vida investigadora a estudiar métodos numéricos y siempre podemos indagar un poco más en los detalles. Pero, espero que con esto sea suficiente para entender a que nos dedicamos en este pequeño equipo de la Universidad de Oxford, seguro que mis periplos en el equipo volverán a aparecer por este blog.


Esta entrada participa en la Edición 12.4: "Quod Erat Demonstrandum" del Carnaval de Matemáticas, organizado en esta ocasión por la Asociación de Estudiantes QED.

 

Por cierto, no sé si ya lo sabías, pero QED es una asociación de algunos matemáticos que hemos pasado por la Universidad Autónoma de Madrid. La idea de la asociación es publicar un par de revistas de matemáticas en un tono de divulgación, pensada para todo aquel al que le gustan las matemáticas, tanto en formato en papel, como online en la página web de la asociación. El primer número va a salir este mes de diciembre, ¿te lo vas a perder? 

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