lunes, 9 de abril de 2018

EL TEOREMA DE LOS CUATRO COLORES - CUARTO ANIVERSARIO DEL BLOG

Tal día como hoy hace cuatro años daba comienzo la andadura de este blog, Matemático Soriano, por ello, una buena forma para celebrar este aniversario sería divulgar sobre el 4, y por ello hablaremos de uno de los teoremas más famosos involucrados con el cuarto número, ¡el Teorema de los Cuatro Colores!

Bien, enunciemos primero el Teorema:

"Cualquier mapa dibujado en un plano puede pintarse utilizando unicamente cuatro colores de tal forma que, si dos regiones comparten frontera, entonces tienen colores diferentes".

Es importante apuntar que en esta definición si dos regiones solo coinciden en un único punto, entonces, esto no se considerará "frontera".

Mapa EEUU 4 colores

En un principio puede no parecer un problema del ámbito matemático, pero sí que lo es y concretamente uno nada sencillo pues, ¡costó unos 126 años resolverlo! (146 si nos ponemos exquisitos).

"Muchos matemáticos pensaron que tenían soluciones pero todas ellas eran erróneas. Con el trabajo de varias personas logró demostrarse que con 5 se podía, pero... ¿y con 4?"


Listos pues, contemos la fascinante historia del Teorema de los Cuatro Colores. Este problema comenzó en el año 1850, en aquel entonces el joven británico Francis Guthrie se entretenía intentando pintar el mapa de Inglaterra intentando utilizar el menor número posible de colores. El "acertijo" llamo su atención, y pese a que no lo consiguió, su intuición le decía que el número mínimo era 4.

Francis Guthrie
Francis contactó con su hermano Frederick, el cual había tenido de profesor a un prestigioso matemático de la época, De Morgan. Al ser incapaz de resolver el problema que su alumno le propuso se puso en contacto con Hamilton (quizás uno de los matemáticos ingleses más importantes) el cual, al hallarse concentrado con su teoría sobre los cuaterniones, desestimo la propuesta de su colega y no le dio importancia.

El problema tuvo que esperar hasta 1878 para que se le diera el reconocimiento que merecía. En dicho año la conjetura de los cuatro colores se propuso oficialmente a la London Mathematical Society (una de las sociedades de matemáticos más importantes del mundo) como un problema a resolver. Y, justo un año después se consiguió dar una respuesta... o eso creían, en 1890, 11 años después de esa teórica prueba, se descubrió que la demostración contenía un pequeño fallo. Se pudo arreglar, más o menos, por culpa del fallo, con la posterior corrección solo se sabía que con 5 ó menos colores se podía colorear todo el mapa.

Es muy sencillo ver que con 3 colores no es suficiente pues basta con poner un ejemplo, este valdría:

Así el problema, se centraba en vislumbrar si el número mínimo eran 4 ¿o... quizás 5? Heawood, quién había encontrado dicho error siguió trabajando en el problema pero no fue capaz de extraer ninguna conclusión y la pregunta seguía abierta.

Sin embargo... el problema fue cayendo poco a poco en el olvido, hasta que... ¡en 1976 se dio una primera demostración! 

Y quizás, lo más interesante del problema de los Cuatro Colores es que este fue pionero. ¿Pionero en qué?, os preguntaréis. Pues bien, la prueba fue dada por un ordenador. Efectivamente, Appel  y Haken crearon un complicado programa informático que afirmaba que cuatro colores eran suficientes.


Muchos matemáticos de la época eran recelosos y no estaban seguros de que la prueba fuese válida pues existían cálculos internos que realizaba el ordenador que no podían ser comprobados.

Afortunadamente, la historia, como ya os imaginarías tiene final feliz, en 1996 Neil Robertson; Daniel P. Sanders; Paul Seymour y Robin Thomas, de la Escuela de Matemáticas del Georgia Institute of Technology de Estados Unidos, publican una nueva prueba sin los inconvenientes de la anterior, y que esta vez es aceptada por toda la comunidad matemática.

Bien, si te ha gustado toda esta historia y quieres seguir dándole vueltas a la cabeza te reto a que intentes colorear con 4 colores el mapamundi.


Y si eres de los que verdaderamente disfrutan comiéndose el coco te propongo que intentes pensar cuantos colores serán necesarios si nos encontramos en otras superficies como por ejemplo una esfera, un donut, un cilindro...


Wolfgang Haken

Smote the Kraken

One! Two! Three! Four!

Quoth he: “the monster is no more”.

(W.T. Tutte)

Cerramos la entrada con el pequeño poema que W.T. Tutte dedicó a W. Haken, uno de los investigadores que pusieron fin a la Conjetura de los Cuatro Colores.

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