domingo, 7 de febrero de 2016

PROBLEMA 3 OME LII DISTRITO DE VALLADOLID

Los pasados días 15 y 16 de enero tuve la suerte de participar y finalizar segundo en la OME por el distrito de Valladolid. A continuación os dejo con uno de los seis problemas (aquel en el que desarrolle mi mejor solución en mi opinión). Os he dejado enlaces a noticias y dicha solución más abajo. Por favor, comentad si hayáis alguna otra solución para este problema.

PROBLEMA 3
Sea n un número natural que no es primo, y 1=d_1<d_2<...<d_k=n sus divisores naturales, con k>=3. Demostrar que ese divisores NO están en progresiones aritméticas.









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SOLUCIÓN:  Que k>=3 significa que siempre existirán los d_k, d_(k-1) y d_(k-2). Además si estuvieran en p.a. deberían cumplir que d_k - d_(k-1) = d_(k-1) - d_(k-2).

Sin embargo, tras unos pocos cálculos llegamos a la conclusión de que:

d_k - d_(k-1) >= d_k/2 > d_k/2 - 1 >= d_(k-1) - d_(k-2)

Y por resolución a lo absurdo ya tenemos resuelto el problema.


ENLACES LII OME DISTRITO DE VALLADOLID

http://www.desdesoria.es/?p=175111

http://sorianoticias.com/noticia/2016-01-29-dos-alumnos-ies-machado-3-mejores-matematicos-olimpiada-uva-29688

http://www.heraldodesoria.es/noticias/soria/2016/01/28/dos-sorianos-entre-los-tres-primeros-clasificados-fase-local-olimpiada-matematica-729937-1521032.html

http://www.elnortedecastilla.es/segovia/201601/29/segoviano-guillermo-alonso-sube-20160129132028.html

http://www.icalnews.com/Mostrar.cfm/noticias/I/alumno/segoviano/guillermo/alonso/alonso/linaje/primer/clasificado/fase/local/olimpiada/matematicas/356078

http://segoviaaldia.es/not/94927/un-segoviano-primer-clasificado-en-la-fase-local-de-la-olimpiada-de-matematicas

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