sábado, 30 de septiembre de 2017

ACERTIJO 90 - EL PROBLEMA DEL TRIÁNGULO

Como ya es tradición este último acertijo de esta tirada está pensado para los valientes que estén dispuestos a pegarse un buen rato con un buen problema. Por primera vez, el acertijo extremo que traemos en Matemático Soriano será de geometría y, la verdad, por lo menos para mí, este es un verdadero problema con una dificultad y una belleza increíbles.

Sean M y N puntos del lado BC del triángulo ABC tales que BM = CN, estando M en el interior del segmento BN. Sean P, Q puntos que están respectivamente en los segmentos AN, AM tales que ∠PMC = ∠MAB y ∠QNB = ∠NAC. ¿Es cierto que ∠QBC = ∠PCB? 

La solución como siempre algo más abajo, aunque esta vez ocupará un poquito más que de costumbre =)



SOLUCIÓN:



La idea clave de la solución es considerar las circunferencias circunscritas de los triángulos BNQ (en verde en la figura) y PMC (en rojo). Si AM corta a la circunferencia (BNQ) en X, y AN corta a la circunferencia (PMC) en Y , es evidente que los cuadril´ateros BQNX y MP CY son c´ılicos. Puesto que ∠QBC =
∠QBN y ∠P CB = ∠P CM, los ´angulos del enunciado del problema ser´an igualessi lo son ∠QBC y ∠P CM. Pero ∠QBN = ∠QXN = ∠MXN y por otra parte∠P CM = ∠P Y M = ∠NY M. Entonces el problema estar´a resuelto en sentido afirmativo si demostramos que ∠MXN = ∠NY M lo cual es tanto como decir que los cuatro puntos M, N, Y, X están en una circunferencia, para lo cual podemos intentar demostrar que

AM · AX = AN · AY ⇔
AM/AN =AY/AX

Para ello razonaremos de la siguiente manera: Los triángulos ABM y ACN tienen la misma área, ya que sus bases son iguales por hipótesis y la altura desde A es la misma; entonces AM · AB · sin α = AN · AC · sin β, (1) donde α = ∠MAB y β = ∠NAC. Por otra parte, dos de los ángulos del triángulo ABX son α y ∠BXQ = ∠QNB = β (en la circunferencia (BNQ)). Análogamente, dos de los ángulos del triángulo ACY son β y α. Por lo tanto esos dos triángulos son semejantes, y escribiendo la proporcionalidad entre lados homólogos, se tiene

AY/AX = CY/AB (2)

Por último, aplicando el teorema del seno en el triángulo ACY , tenemos

AC/sin α = CY/sin β
sin β/sin α = CY/AC

Utilizando (1) y teniendo en cuenta (2), resulta

AM/AN = (AC · sin β)/(AB · sin α)
=
(AC/AB) ·(CY/AC) = AY/AX

y esto demuestra la igualdad de ángulos indicada en el enunciado



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