Hablando de los números primos una de las primeras cosas que llamó la atención a sus estudioso fue su caótica forma de aparecer, sin aparentemente seguir ninguna regla concreta (a día de hoy sigue sin saberse si esta existe o no, y no son pocos los ilustres que han intentado hallarla). Al principio estos existen muy próximos entre sí, por ejemplo, entre los primeros 20 naturales contamos hasta 8 números, pero luego, entre el 83 y el 97 no encontramos NINGUNO.
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| 1.000 primeros números primos |
La pregunta que nos hacemos ahora es, podremos encontrar espacios con varios números consecutivos compuestos, grandes conjuntos sin números primos, ¿secuencias de 5, 10, 20 ó incluso 1000 sin encontrar ni un primo?
La respuesta es SÍ, de hecho podemos conseguir un intervalo del tamaño que queramos y la demostración es bastante sencilla. De momento probaremos para 5 números consecutivos. Multiplicamos 6·5·4·3·2·1=720 (6!) y obtendremos los siguientes resultados:
6·5·4·3·2·1+2 = 722, que será múltiplo de 2
6·5·4·3·2·1+3 = 723, que será múltiplo de 3
6·5·4·3·2·1+4 = 724, que será múltiplo de 4
6·5·4·3·2·1+5 = 725, que será múltiplo de 5
6·5·4·3·2·1+6 = 726, que será múltiplo de 6
Si escogemos un número más grande, la secuencia sin números primos se irá ampliando, por ejemplo, con 1001 llegaremos a la secuencia de 1000 números compuestos:
1001!+2 = ... múltiplo de 2
1001!+3 = ... múltiplo de 3
1001!+4 = ... múltiplo de 4
... y así hasta
1001!+1001 = múltiplo de 1001
Sin embargo, ¿existirá un punto en el que se acaben los números primos y tras este exista una secuencia de infinitos números compuestos? La respuesta es NO, no nos dejemos caer por falsas intuiciones esto, como nos decía el algoritmo de Euclides, existen infinitos primos, y por tanto no habrá un último.
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