RETO (CAFÉ Y TEOREMAS) - UNA DESIGUALDAD ALGO PECULIAR

 Demostrar que para todo entero $n>1$ se cumple:

$1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot ... \cdot \left( 2n - 1 \right) < n^n$

Problema propuesto en la Olimpiada de Alemania de 1990.

Este problema es un reto de Matemático Soriano. ¿No sabes qué son los retos? Lee la entrada retos matemáticos. La idea es debatir la solución de este problema en la sección de comentarios, seguro que tenemos un debate lleno de ideas maravillosas.

ACERTIJO 120 - ÁREA SOMBREADA

En el dibujo, el lado del cuadrado mide 2, las semicircunferencias pasan por el centro del cuadrado y tienen sus centros en los vértices del cuadrado. Los círculos grises tienen sus centros sobre los lados del cuadrado y son tangentes a las semicircunferencias. ¿Cuánto vale la suma de las áreas grises? 

La solución como siempre algo más abajo.

ACERTIJO 119 - MOVIENDO PIEZAS

 Siete piezas de $3 cm \times 1 cm$ se colocan en una caja de $5 cm \times 5 cm$. Se pueden deslizar las piezas en la caja, de modo que haya espacio para una pieza más. ¿Cómo mínimo, cuántas piezas hay que mover?

La solución como siempre algo más abajo.

ACERTIJO 118 - LA PROFESORA Y SUS ALUMNOS

 Una profesora piensa en un número natural y le da la siguiente información a sus alumnos:

    1)     El número, o termina en 5 o es divisible por 7

    2)     O es mayor que 20, o termina en 9

    3)     O es múltiplo de 12 o es menor que 21

¿Qué número ha pensado la profesora?

La solución como siempre algo más abajo.

ACERTIJO 117 - LA TIRA DOBLADA

 La tira rectangular $ABCD$ de 5 cm de ancho y 50 cm de largo es blanca por el lado mostrado en la primera figura y gris por el otro. Doblando la tira, Cristina hace coincidir el vértice $B$ con el punto medio $M$ del lado $CD$. Doblándola otra vez, el vértice $D$ coincide con el punto medio $N$ del lado $AB$. 

¿Cuál es el área, en $cm^2$, de la parte visible blanca de la última figura?

La solución como siempre algo más abajo.

ACERTIJO 116 - NÚMEROS EN CÍRCULO

Los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 9. 10 se escriben en círculo, en un cierto orden. Después, cada número se suma con el que tiene a su derecha y el que tiene a su izquierda y se obtienen otros diez números. ¿Cuál es el mayor valor posible del más pequeño de esos nuevos números?

La solución como siempre algo más abajo.

ACERTIJO 115 - LA DIANA

Robin Hood lanza tres flechas al blanco, obteniendo los puntos que se indican en la figura si se clavan en las zonas indicadas: Las tres flechas alcanzan el blanco. ¿Cuántas puntuaciones diferentes puede obtener Robin de esta forma?

La solución como siempre algo más abajo.

ACERTIJO 114 - RECORRIENDO EL CUBO

 La figura muestra un polígono cuyos vértices son los puntos medios de las aristas de un cubo. Se define en la forma usual el ángulo interior del polígono: 

Es el ángulo entre los dos lados del polígono que confluyen en ese vértice. 

¿Cuál es la suma de todos los ángulos interiores del polígono?

La solución como siempre algo más abajo.

ACERTIJO 113 - DE BALANZAS

En una balanza se colocan al azar tres pesos en cada platillo. La figura muestra lo que sucede. Los pesos eran de 101, 102, 103, 104, 105 y 106 gramos. ¿Cuál es la probabilidad de que el peso de 106 g esté en el platillo que pesa más (el de la derecha en la figura)? 

La solución como siempre algo más abajo.

ACERTIJO 112 - LA LONGITUD DEL SEGMENTO

 El área de la parte oscura es $2 \pi$. ¿Cuál es el valor de la longitud $AB$ (ver la figura) ?

La solución como siempre algo más abajo.

ACERTIJO 111 - EL DADO QUE GIRA

Las caras opuestas de un dado siempre suman 7. El dado rueda en un circuito como se presenta en la figura. Inicialmente, en D, la cara superior es un 3. ¿Cuál será la cara superior al final del recorrido, en A?

La solución como siempre algo más abajo.

ACERTIJO 110 - SEMICIRCUNFERENCIAS

Como ya es tradición en este pequeño blog, llega septiembre y llegan ese maravilloso mes en el que todos nos reunimos para resolver acertijos, esta vez serán 10 más un acertijo 0 extra de presentación como precuela. Espero que los disfrutéis.

La figura muestra tres semicircunferencias con los puntos A y B situados exactamente sobre los centros E y F de las dos semicircunferencias inferiores. Si el radio de cada semicircunferencia es 2 cm , el área en cm 2 de la región sombreada es: 

La solución como siempre algo más abajo.

RETO (DESCUBRIENDO LAS MATEMÁTICAS) - CONSECUTIVOS PARA CONSTRUIR CUADRADOS Y CUBOS

 Probar que el producto de cuatro naturales consecutivos no puede ser ni cuadrado ni cubo perfecto.

Problema 5 XLII Olimpiada Matemática Española 2006

Este problema es un reto de Matemático Soriano. ¿No sabes qué son los retos? Lee la entrada retos matemáticos. La idea es debatir la solución de este problema en la sección de comentarios, seguro que tenemos un debate lleno de ideas maravillosas.

¿PUEDES ESCUCHAR LA FORMA DE UN TAMBOR?

No, no estamos confundiendo "ver" o "tocar" con "oír", y no, tampoco estamos haciéndonos una pregunta filosófica. De hecho, esta se formuló por primera vez hace ya bastantes años, en 1966, cuando un matemático polaco, Mark Kac, publicó un artículo sobre Geometría Espectral en la prestigiosa revista American Mathematical Monthly. Usando, para ello, un título bastante llamativo, "Can One Hear the Shape of a Drum?", en los años siguientes esta pregunta se volvería bastante famosa. De hecho, como premio a este trabajo, a Mark Kac se le concedió el "Lester R. Ford Award" en 1967 y el "Chauvenet Prize" en 1968.

Carnaval de Uruguay

Pero, ¿a qué nos referimos con eso de "escuchar la forma de un tambor"? Quizás sea más sencillo hacerse primero la pregunta opuesta:

Si conoces la forma que tiene tu tambor, ¿puedes predecir que sonidos podrá hacer? Para esta segunda reflexión nos resulta mucho más sencillo decidir cuál es la respuesta, esta, efectivamente es un sí. 

Prueba dos tambores distintos, al golpearlos, el más pequeño sonará más agudo que el más grande. Con ayuda de la física somos capaces de predecir por completo todas las cualidades del sonido que reproducen si conocemos su forma.

RETO (CAFÉ Y TEOREMAS) - SUMAS DE 100 TÉRMINOS MUY CURIOSOS

Sean $x_1$, ..., $x_{100}$ números reales no negativos tales que $x_i + x_{i+1} + x_{i+2} \leq 1$ para todo $i = 1, ..., 100$ (aquí consideramos $x_{101}=x_1$ y $x_{102}=x_2$. Encontrar el máximo valor posible para la suma

$S = \sum_{i=1}^{100} x_i x_{i+2}$

Problema propuesto por Rusia en la Shortlist IMO 2010 (Astana).

Este problema es un reto de Matemático Soriano. ¿No sabes qué son los retos? Lee la entrada retos matemáticos. La idea es debatir la solución de este problema en la sección de comentarios, seguro que tenemos un debate lleno de ideas maravillosas.

RETO (CAFÉ Y TEOREMAS) - ENTEROS EN FORMA DE POTENCIA

¿Existen infinitos enteros positivos que no pueden representarse de la forma 

$a^3 + b^5 + c^7 + d^9 + e^{11}$

donde $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ son enteros positivos? Razónese la respuesta.

Problema 4 XLIX Olimpiada Matemática Española 2013.

Este problema es un reto de Matemático Soriano. ¿No sabes qué son los retos? Lee la entrada retos matemáticos. La idea es debatir la solución de este problema en la sección de comentarios, seguro que tenemos un debate lleno de ideas maravillosas.

RETO (DESCUBRIENDO LAS MATEMÁTICAS) - NÚMEROS CONSECUTIVOS

Halla todas las sucesiones finitas de $n$ números naturales consecutivos $a_1$, $a_2$, ..., $a_n$, con $n \geq 3$, tales que $a_1+a_2+...+a_n = 2009$.

Problema 1 XLV Olimpiada Matemática Española 2009.

Este problema es un reto de Matemático Soriano. ¿No sabes qué son los retos? Lee la entrada retos matemáticos. La idea es debatir la solución de este problema en la sección de comentarios, seguro que tenemos un debate lleno de ideas maravillosas.

HUEVOS DE PASCUA

Impresionantes huevos de Pascua con decorados matemáticos hechos por @dment37 con GeoGebra para celebrar el Domingo de Pascua. ¿Te animas a hacer tus propios diseños?

RETO (DESCUBRIENDO LAS MATEMÁTICAS) - ECUACIONES DIOFÁNTICAS Y EXPONENCIALES

Encuentra todas las ternas de enteros no negativos que satisfacen la ecuación

$2^x + 3^y \, = \, 4^z$

Problema de Nguyen Viet Hung.

Este problema es un reto de Matemático Soriano. ¿No sabes qué son los retos? Lee la entrada retos matemáticos. La idea es debatir la solución de este problema en la sección de comentarios, seguro que tenemos un debate lleno de ideas maravillosas.

RETO (CAFÉ Y TEOREMAS) - MATRICES REVOLTOSAS

Para cualquier entero $n \geq 2$ y dos matrices de tamaño $n \times n$ con entradas reales $A$ y $B$ se satisface la relación:

$A^{-1} + B^{-1} \, = \, \left( A + B \right)^{-1}$

demostrar que, si $A$ y $B$ satisfacen la relación que acabamos de enunciar, entonces $det \left( A \right) = det \left( B \right)$.

Problema de Zbigniew Skoczylas, Wroclaw University of Technology.

Este problema es un reto de Matemático Soriano. ¿No sabes qué son los retos? Lee la entrada retos matemáticos. La idea es debatir la solución de este problema en la sección de comentarios, seguro que tenemos un debate lleno de ideas maravillosas.

RETO (DESCUBRIENDO LAS MATEMÁTICAS) - UN NÚMERO MUY COMPLETO

De un número $x$ sabemos que es entero y que si lo divides entre $2$ se obtiene un cuadrado perfecto, si lo divides entre $3$ se obtiene un cubo perfecto y si lo divides entre $5$ se obtiene un número entero que es la potencia quinta de otro. ¿Podrías encontrar algún número que cumpla esto?

Problema de la XXII Olimpiada Regional de Matemáticas (CyL) Prueba individual 4º ESO.

Este problema es un reto de Matemático Soriano. ¿No sabes qué son los retos? Lee la entrada retos matemáticos. La idea es debatir la solución de este problema en la sección de comentarios, seguro que tenemos un debate lleno de ideas maravillosas.

NUEVA SECCIÓN. RETOS MATEMÁTICOS

Bueno, vamos a probar una idea que he tenido para hacer un poco más llevadera la cuarentena. Recuerdo, cuando entrenaba para competir en Olimpiadas matemáticas, podía pasarme tardes resolviendo problemas, absorto en mis pensamientos y, que, cuando miraba el reloj habían pasado 1, 2 ó 3 horas... (y a veces el delirio duraba incluso más), pero yo me entretenía muchísimo y disfrutaba retándome a mí mismo. 

Intentando reproducir estas agradables tardes en, una versión más colaborativa, se me ha ocurrido usar el blog Matemático Soriano. De forma periódica iré colgando dos retos, uno más sencillo, family friendly para cualquiera y un segundo que prometo, intentaré por todos los medios posibles que sea resolver al primer golpe de vista. Pues, encontrar la respuesta a la primera no es el objetivo de estas entradas, la idea es pegarse con el problema para intentar ir deduciendo la solución poco a poco e ir comentando estos pequeños progresos en la sección de comentarios hasta crear una especie de foro de debate en la que se argumente y se discuta sobre el camino a seguir para resolver el reto.

Café y Problemas

MATEMÁTICAS, EL LENGUAJE DEL MUNDO

Los matemáticos hoy tenemos un pequeño motivo de celebración dentro de esta crisis pandémica, pues, por primera vez vamos a celebrar el día de las matemáticas, el 14 de marzo (que hasta ahora se dedicaba solo al número $\pi$ ya que en el mundo anglosajón hoy es el día 3.14), pero, ¿qué son las matemáticas? ¿por qué apasionan de una forma tan desmedida?

Hay muchas opiniones sobre qué son las matemáticas, depende de la esfera desde la que la mires y la utilidad que pretendas darle. Aunque, por lo menos yo lo tengo claro. A mi modo de ver, las matemáticas son un lenguaje, uno que te ayuda a pensar de otra forma.

FIGURA IMPOSIBLE

Figura imposible

FRACTAL DE VICSEK

Tomada del blog Andreas Rejbrand’s Website

EL FRACTAL DE LOS LAGARTOS. ESCHER

Obra de M.C. Escher, "Smaller & Smaller" (1956). El genio nos deleita con esta composición en la que lagartos se reúnen para formar un precioso fractal.

LA BELLEZA DE LO FRACTAL

Autor: Sergio CT. Arte Digital de Sergio CT

ENTRANDO EN 2020

Damos la entrada a un nuevo año, y para empezarlo por todo lo alto haremos una recopilación de algunas de las curiosidades más relevantes del número 2020, el del año en el acabamos de entrar.

2020 es el número más pequeño que puede escribirse como el número más pequeño que se puede escribir como la suma de los cuadrados de cuatro primos y como la suma de dos cuadrados de dos maneras distintas.

$2020 = 17^2 + 19^2 + 23^2  + 29^2$

$2020 = 16^2 + 42^2$

$2020 = 24^2 + 38^2$

Menor número que se puede escribir como suma de los cuadrados de cuatro primos y como suma de dos cuadrados de dos maneras

Gracias a @JMSepulcre, que compartió en su cuenta de twitter para dar la bienvenida al nuevo año, podemos mostrar varias identidades muy interesantes sobre el número 2020.

Por último, el número 2020 es un número autobiográfico. Un número autobiográfico es aquel en el que, empezando por la izquierda, su primera cifra indica el número de ceros que tiene el número, su segunda cifra el número de unos, su tercera de cifra el número de doses, y así sucesivamente... Por ello, 2020 es un número autobiográfico.

2 CEROS, 0 UNOS, 2 DOSES Y 0 TRESES

Las últimas curiosidades sobre el 2020 son.

$2020 = 402 + 403 + 404 + 405 + 406$

$2020 = 249 + 250 + ... + 255 + 256$

$2020 = 31 + 32 + 33 + ... + 70$

$2020 = 4^2 + 6^2 + 8^2 + ... + 22^2$

$2020 = t_3 + t_4 + t_5 + ... + t_{22}$

(Donde los $t_i$ son los números triangulares)

Así que, hemos de decir que 2020, matemáticamente hablando, empieza bien.