¿PUEDES ESCUCHAR LA FORMA DE UN TAMBOR?

No, no estamos confundiendo "ver" o "tocar" con "oír", y no, tampoco estamos haciéndonos una pregunta filosófica. De hecho, esta se formuló por primera vez hace ya bastantes años, en 1966, cuando un matemático polaco, Mark Kac, publicó un artículo sobre Geometría Espectral en la prestigiosa revista American Mathematical Monthly. Usando, para ello, un título bastante llamativo, "Can One Hear the Shape of a Drum?", en los años siguientes esta pregunta se volvería bastante famosa. De hecho, como premio a este trabajo, a Mark Kac se le concedió el "Lester R. Ford Award" en 1967 y el "Chauvenet Prize" en 1968.

Carnaval de Uruguay

Pero, ¿a qué nos referimos con eso de "escuchar la forma de un tambor"? Quizás sea más sencillo hacerse primero la pregunta opuesta:

Si conoces la forma que tiene tu tambor, ¿puedes predecir que sonidos podrá hacer? Para esta segunda reflexión nos resulta mucho más sencillo decidir cuál es la respuesta, esta, efectivamente es un sí. 

Prueba dos tambores distintos, al golpearlos, el más pequeño sonará más agudo que el más grande. Con ayuda de la física somos capaces de predecir por completo todas las cualidades del sonido que reproducen si conocemos su forma.

En cambio, la pregunta que daba título al paper de Kac no es tan sencilla de discernir. Los tambores (en esta entrada como tambor nos referimos solo a la membrana que es golpeada y nos olvidamos del cilindro que la contiene) son objetos bidimensionales. Un buen ejemplo de su análogo unidimensional sería la cuerda de una guitarra. Así que, para entender membranas vibratorias primero debemos comprender a las cuerdas vibratorias.

Las cuerdas al vibrar consiguen hacer que el aire también lo haga. Este fenómeno es percibido por nuestro oído como sonido, para comprender dicho sonido lo que debemos hacer es entender cómo vibran las cuerdas.

Al agarrar una cuerda y soltarla este se combará hacia arriba y hacia abajo sujeta por sus dos extremos, en el caso más sencillo tendremos algo así:

Por supuesto (como casi todo en esta vida), esto se puede modelar con matemáticas. Nombremos por $t$ al tiempo, la función $f (x,t)$ nos da la posición de la cuerda en cada valor $x$, siendo $x=0$ el extremos izquierdo (inamovible) de la cuerda. Por ejemplo, $f(x,0)$ nos daría la posición de la cuerda al comienzo, en el instante de tiempo $t=0$. Gracias a la física, y a su estudio de las ondas, sabemos que esta función $f(x,t)$ satisfará la que, efectivamente, se conoce como la ecuación de ondas, $ \frac{d^2 f}{dt^2} = \frac{d^2 f}{dx^2}$.

¿Qué significa esta expresión? La aceleración en una función dependiente de una sola variable viene dada por la segunda derivada, entonces, en nuestro caso derivar dos veces con respecto a la variable espacial $x$, $\frac{d^2 f}{dx^2}$, nos informará sobre la aceleración horizontal. En otras palabras, mide cuánto se curva la cuerda en un instante de tiempo, al moverte desde la izquierda hacia la derecha. Y derivar dos veces con respecto a la variable temporal $t$, $\frac{d^2 f}{dt^2}$ se corresponde con la aceleración vertical de la cuerda.

En otras palabras, la ecuación de ondas nos explica que la curvatura de la cuerda controla la aceleración de las cuerdas. La cuerda acelerará muy rápido cuando se encuentre demasiado combada y apenas lo hará si la tenemos poco curvada, lo cuál, parece bastante razonable.

Hay infinitas soluciones que satisfacen la condición impuesta por esta ecuación, este retorcido ejemplo, sorprendentemente, la satisface:

No obstante, esto se puede simplificar (y conviene que lo hagamos, visto las soluciones monstruosas que existen), pues estas ondas se pueden expresar como combinación de tonos puros. Los tonos puros son las ondas más sencillas que resuelven este problema y que habitualmente solo se usan para afinar instrumentos o para comprobar la funcionalidad de tus oídos. Estas tienen la forma:

$f(x,t) = A \cdot sin (\nu x) \cdot cos(\nu t)$

Con $A$ la amplitud y $\nu$ un parámetro conocido como frecuencia que solo puede tomar valores enteros no negativos, $\nu =1, 2, 3, 4, 5,...$

Aquí hay algunos ejemplos:

Frecuencias $\nu =1, 2, 3$ y $7$

Cuanto más grande sea la frecuencia más saltos y botes dará nuestra cuerda, luego para generar el resto de soluciones más complicadas podemos, simplemente, combinar varias de estas (es decir sumar sus expresiones, si dos fórmulas $f(x,t)$ y $g(x,t)$ satisfacen la ecuación de ondas, su suma $h(x,t)=f(x,t)+g(x,t)$ también lo hará):

Escuchamos los tonos $\nu =1$ y $\nu =2$

Escuchamos los tonos $\nu=1$ y $\nu=6$

Para escuchar la longitud de la cuerda solo tenemos que conocer la frecuencia fundamental (o frecuencia más baja), $\nu_{1}$. La frecuencia más baja se obtiene cuando la cuerda solo se comba una única vez. Para que esto suceda necesitamos $\nu_{1} = \frac{1}{2L}$ (con $L$ la longitud de la propia cuerda). Como conocemos ("podemos escuchar") esta frecuencia, automáticamente podemos extraer el valor de su longitud $L$, ¡sí!, ¡podemos escuchar! 

Paco de Lucía tocando la guitarra

  Ya estamos listos para resolver nuestra pregunta original, ¡pasemos al caso 2D y golpeemos el tambor! En una sola dimensión era muy sencillo, pues lo único con lo que podíamos jugar era con la longitud de la cuerda. Al aumentar en una el número de dimensiones, las reglas del juego cambian bastante, ahora podemos variar el contorno, el tamaño, el número de agujeros... Las posibilidades son infinitas. Primero, reformulemos nuestra cuestión inicial a otra equivalente, ¿pueden dos tambores con formas diferentes producir las mismas frecuencias?, esta es más sencilla de entender y demostrar. 

No es un enunciado trivial, la comunidad matemática necesitó 26 años para dar con la respuesta, intentaremos explicar con cuidado cuáles son los primeros pasos a seguir para poder resolverlo.

De nuevo, la forma de aproximarse al problema es muy similar a la que teníamos para nuestras guitarras. Elijamos la función $f(x, y, t)$, que representa la posición de la membrana para cada posición $(x, y)$ (recuerda, dos dimensiones) y tiempo $t$. La ecuación diferencial que gobierna a $f(x,y,t)$ es:

$\frac{d^2f}{dt^2} = \Delta f$

El lado izquierdo de la ecuación, $\frac{d^2f}{dt^2}$, como antes, representa la aceleración vertical. En cambio en el lado derecho, aparece un símbolo que quizás no conozcas, $\Delta$, este se llama laplaciano, y es una forma de abreviar: $\Delta f = \frac{d^2f}{dx^2} + \frac{d^2f}{dy^2}$, la suma de las segundas derivadas en las dos direcciones espaciales. El laplaciano es un operador muy importante en matemáticas, que aparece en infinidad de ecuaciones, pues el significado físico de este término se asocia a la dispersión de manera homogénea. 

Lo que teníamos antes, en cierto modo era un laplaciano unidimensional, así que el nuevo problema que estamos estudiando es muy parecido al anterior. No obstante, otra vez podemos tener soluciones muy complicadas.

Ejemplo de solución para un tambor cuadrado

De nuevo, lo interesante es buscar las soluciones en las que solo hay una frecuencia (o manteniendo el vocabulario anterior, tono), estas resuelven $\frac{d^2f}{dt^2} = - \nu^2 f$ (la aceleración del tambor debe ser igual a un múltiplo - negativo - de la posición actual).

Si conocemos el dato inicial, la posición de estos casos tan particulares (e imprescindibles para deducir las tonalidades de la membrana) que hemos propuesto viene dada por $f(x,y,t) = f(x,y,0) cos( \nu t)$. El tambor simplemente vibra de manera sinusoidal.

Solución $\frac{d^2f}{dt^2} = - \nu^2 f$, vibración sinusoidal

La frecuencia de vibración (y por ende los tonos y sonidos que es capaz de generar el tambor) son controlados por los valores $\lambda = - \nu^2$, cuanto mayor sea $\nu$, más agudo será el tono producido.

Estos parámetros $\lambda$ reciben el nombre de autovalores, y dependen de la la forma que tenga el tambor. El conjunto de todos los autovalores para cada forma de tambor es denotado con una extraña palabra que ya hemos escrito al principio de la entrada, espectro (hemos dicho que el paper de Kac se enmarcaba dentro de la disciplina de la geometría espectral).

Con esto ya tenemos las nociones básicas que necesitamos para entender como resolver este curioso enigma, ¿existen dos formas de tambor diferentes con el mismo espectro? 

Un redoble de tambores por favor (nunca mejor dicho...).

Espero no decepcionar a nadie con esto que estoy a punto de decir pero la respuesta es sí. 

No puedes escuchar la forma del tambor.

Calcular autovalores es bastante complicado y por eso se tuvo que esperar hasta 1992 para obtener una respuesta válida para la comunidad matemática. Carolyn Gordon, David Webb y Scott Wolpert encontraron un ejemplo de "dos tambores que sonaban igual", publicando el artículo "One cannot hear the shape of a drum" en Bulletin of the AMS.

David Webb y Carolyn Gordon con una pareja de "tambores con el mismo sonido"

Pero, ¡no está todo perdido!, ¡todavía hay mucho que podemos decir! Aunque, "no podamos escuchar la forma de un tambor" hay varias propiedades de este que sí "podemos escuchar", como, por ejemplo, su área, su perímetro o el número de agujeros que este tiene. Fascinante, ¿no?, aspirábamos a algo más pero conocer todo esto solo escuchando parece increíble.

Ejemplo de Gordon, Webb y Wolpert, dos tambores distintos con "el mismo sonido"

Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta nonagésima edición, también llamadada 11.4, está organizado por Javier Cayetano Rodríguez, a través de la web Rincón Didáctico de Matemáticas, de la Consejería de Educación y Empleo de la Junta de Extremadura.

WEBGRAFÍA:

• Wikipedia: Hearing the shape of a drum.
• Infinity plus one: Can You Hear the Shape of a Drum? (Part 1) y Can You Hear the Shape of a Drum? (Part 2).
• American Mathematical Society: You Can't Always Hear the Shape of a Drum.
• PBS Infinite Series: Can We Hear Shapes? | Infinite Series | PBS Digital Studios.