GAUDÍ Y LA CATENARIA

Gaudí y la catenaria, la catenaria y Gaudí. Es difícil pensar en una sin recordar al otro y viceversa, la catenaria es una curva con unas propiedades excelentes para la arquitectura, muy famosa entre los matemáticos porque su estudio dio lugar a la creación del Cálculo de Variaciones - una rama muy importante de las matemáticas -, pero fue el genio catalán quién las popularizó como elemento arquitectónico, ideando métodos para su implementación e incorporación a distintas construcciones.

Modelo colgante con pesos colocados estratégicamente por Gaudí para dibujar los planos de la Sagrada Familia. 

Comencemos por lo básico, ¿qué es una catenaria? Sencillo: Una catenaria describe a la curva que traza un cable o una cuerda cuando la sostienes por sus dos extremos y dejas que caiga por el efecto de la gravedad. Por cómo se define la catenaria (o catena en latín), vemos que cada punto de la curva está sometido a exactamente la misma fuerza, la de la gravedad. De esta forma, si la invertimos, análogamente a lo que ocurre con la cadena colgante, la cual, como acabamos de decir, distribuye de manera homogénea su peso, el arco que adopta la forma de una catenaria invertida reparte la comprensión del peso que soporta de forma totalmente homogénea a lo largo de la estructura. Por ello, esta forma es ideal para el arco sometido únicamente a su propio peso, ya que no necesitamos de elementos externos cuyo único fin sea el de reforzar la estructura. Un ejemplo muy revelador de esto es el del arco de Ctesifonte (en el actual Irak), construido en una fecha desconocida entre los siglos III y VI d.C. Contiene un enorme arco con forma de catenaria. Prácticamente toda la estructura ha sido derruida por el paso del tiempo pero el arco se sigue sosteniendo perfectamente por sí mismo sin necesidad de soportarse en elementos adicionales. Esto contribuye a explicar las maravillosas propiedades mecánicas con las que cuenta la catenaria.

El arco de Ctesifonte (fotografía de Karl Oppolzer).

La catenaria es la forma "correcta" de trazar un arco. Hacia 1670, Hooke intuía este principio afirmando:

Del mismo modo que cuelga un hilo flexible, así, pero invertido, se sostendrá el arco rígido.

Algunos años más tarde (en 1698), Gregory mejoraba el enunciado:

Solo la catenaria [invertida] es la forma correcta de un arco. Y si arcos de otras formas se sostienen es porque en su espesor hay contenida una catenaria.

Esto es completamente cierto y se conoce como el Primer Teorema del Análisis Límite, pero hubo que esperar algo más de dos siglos hasta que Milankowitch lo demostrará de forma rigurosa.

Un arco cualquiera se sostiene si y solo si contiene a un arco catenario en su interior (Manuel Cañete).

Tal y como evidencian estas afirmaciones, las buenas propiedades mecánicas de la catenaria eran conocidas desde el siglo XVII, y dibujarla resulta bastante sencillo (solo necesitamos dejar caer una cuerda y dibujarla). No obstante, los cálculos asociados al empleo de catenarias resultaban tediosos y complicados. Además, no fueron bien acogidas por la cultura occidental, quiénes preferían recurrir a arcos dibujados con regla y compás. Gaudí popularizó y explotó las propiedades estéticas y mecánicas de las catenarias, introduciendo con gran éxito en la arquitectura occidental los arcos no formados por segmentos de circunferencia.

El arquitecto de Reus entendía que las construcciones debían surgir desde la estabilidad y no al revés, es decir, intentando eliminar toda clase de accesorios pensados simplemente para sostener la estructura. No trata de verificar la estabilidad de un cierto diseño; en su lugar, trata de proyectar desde el principio con formas estables, llevando este intento hasta las últimas consecuencias. Por eso, no es de extrañar que las catenarias fueran una de sus curvas favoritas (y que más veces empleo), por ejemplo, la Sagrada Familia contiene este objeto en varios lugares.

El problema más habitual con el que tuvo que lidiar y que había frenado a sus posibles predecesores fue el de obtener la forma de un cable (o arco) que soporta un peso proporcional a la distancia vertical entre su directriz (la línea central en la estructura de un arco) y una cierta línea horizontal. No solía resolver este problema de manera directa, ya que matemáticamente conlleva bastantes dificultades. Normalmente empleaba métodos gráficos iterativos o modelos colgantes que, dadas las excelentes propiedades mecánicas de estas familias de curvas, eran más que suficientes para garantizar la estabilidad de las estructuras. Este tipo de herramientas le permitían realizar cálculos rápidos para variar el proyecto a voluntad, evitando los cálculos matemáticos, tediosos en aquella época por la falta de tecnología. Por ejemplo, en la construcción de la casa Milá, se replanteaban los arcos sobre la misma pared según los siguientes pasos:

• Se cuelga un cable simple.
• Se calculan los pesos que actuarían sobre él, midiendo las distancias verticales y sumándole el peso del forjado.
• Se añaden dichos pesos cambiando la forma del arco.
• Se miden de nuevo las distancias verticales y se modifica el propio peso.
• El cable sometido a esos pesos toma una forma muy aproximada a la solución exacta buscada.

Quizás el método no sea tan exacto como los cálculos formales pero simplifica mucho su obtención y la aproximación es suficientemente buena como para cumplir el objetivo buscado. Este fue uno de los avances más importantes de Gaudí.

Modelos de cables empleados en los proyectos de los arcos diafragma de la casa Milá (fotografía tomada del artículo Consideraciones sobre la dimensión estructural de la obra de Antonio Gaudí, P. Roca et al.).

Antonio Gaudí intentó reflejar sus novedosos resultados también en tres dimensiones. Tras sus investigaciones sobre el diseño de arcos, se plantea el problema más general de proyectar bóvedas. Enseguida se dio cuenta de que la única vía posible para crear sus proyectos era recurrir al empleo de modelos colgantes (probablemente fue el primero en aplicar esta técnica). Modelos en los que al seccionar, iban a aparecer de forma natural las curvas de mayor equilibrio.

Modelo colgante (invertido) usado por Gaudí para dibujar los planos de la iglesia de Colonia Güell (Rafolds, 1929).

Gaudí fue desde luego un genio, creativo, original, arriesgado con sus diseños y un soplo de aire fresco. Ya, solo nos queda disfrutar con sus obras.

Empleo de los arcos catenarios en la iglesia de Saint Martin en Donges, Francia (fotografía de Fabrice Fouillet).

Masia Freixa.

 

La Sagrada Familia

En esta entrada he intentado dar un pequeño sorbo sobre las "cosas especiales" que hizo Gaudí implementando la catenaria en sus obras. Si te has quedado con ganas de más, de aprender sobre la catenaria y sobre cómo la utilizó el genio catalán, he de decirte que este post no es más que un pequeño resumen de un artículo que escribí para la Gaceta de la RSME hace un año, titulado La catenaria y su influencia en la arquitectura de Gaudí que ya está disponible en la página web de la Gaceta de la RSME para que cualquiera que quiera pueda leerlo. 

Si te ha gustado este artículo y quieres citarlo para alguno de tus trabajos, te pido que uses la siguiente referencia:

A. Fernández, La catenaria y su influencia en la arquitectura de Gaudí, Gac. R. Soc. Mat. Esp. 23 (2020), no. 2, 303-323.