Decide si existen o no $15$ enteros $m_1$, $\cdots$, $m_{15}$ tales que
$\sum_{k=1}^{15} m_k \cdot \arctan (k) = \arctan (16)$ .
Problema de Gerhard Woeginger, Eindhoven University of Technology.
Este problema es un reto de Matemático Soriano. ¿No sabes qué son los retos? Lee la entrada retos matemáticos. La idea es debatir la solución de este problema en la sección de comentarios, seguro que tenemos una discusión llena de ideas maravillosas.
He estado intentándolo pero no logro llegar a nada, cuando creo que estoy por el buen camino me acabo dando con alguna pared. ¿La solución es simple y directa? Las únicas maneras que se me ocurren es usar lo que nos enseñaron en investigación operativa o crear un programa. He simplificado el caso para 2 enteros m1arctan(1)+m2arctan(2)=arctan(3) y no logro encontrar enteros que lo satisfagan.
ResponderEliminarHola, me alegro de que te esté gustando el problemilla. Lo primero, que no te salgan soluciones, es, buen síntoma, dejemoslo ahí... Luego, este es el típico problema que puede tener varias soluciones, pero la que yo conozco, es bastante corta (media página o incluso menos). Una buena pista, sería, cómo puedes escribir este problemilla usando números complejos para que te queden expresiones menos "diabólicas". Dicho esto, es un problema muy complicado, sin ninguna pista, es idea feliz total. Mira a ver si con esto consigues avanzar un poco más :)
EliminarHe encontrado una demostración excelente, pero esto es tan pequeño que no me cabe aquí.
EliminarFuera bromas, utilizando la identidad arc tan z=1/2i^((1+iz)/(1-iz)) llego al producto sigma mayúscula k=1 15 ((1+ik)/(1-ik))^mk=(1+16i)/(1-16i)
ResponderEliminarmultiplicando por (1+ik)^mk abajo y arriba de cada monomio me queda el módulo de cada monomio en el denominador, a la izquierda de la igualdad me queda en el denominador 2^m1*5^m2*10^m3*...*225^m15 y en la derecha 257, ahora creo que 2^m1*5^m2*10^m3*...*225^m15 tendría que dividir a 257 pero esto es imposible al ser 257 primo. Por lo que no existen enteros que satisfagan la igualdad ¿Van por aquí los tiros?
3arctan(1)-arctan(2)=arctan(3) ¿No?
ResponderEliminarUtilizando la identidad tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b)), y el hecho de que arctan1+arctan2+arctan3=π, consigo algunas relaciones, como , por ejemplo, 2arctan(3)+arctan(7)-arctan(2)-arctan(5)=arctan(8), o 2arctan(1)+arctan(3)-arctan(4)=arctan(13), pero así hay arcotangentes de números naturales que no consigo, como arctan(2), arctan(4) o arctan(16). Mi problema es que la primera identidad a la que me he referido sólo relaciona dos términos, voy a probar con tan(a+b+c)=... Pero al haber tres términos la búsqueda se me complica.
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