SOBRE FRACTALES

Fractales, ese concepto, a mi parecer, curioso, incluso enigmático, una de esas muchas maravillas de la ciencia. De las que te animan a estudiarla, a entenderla, a comprenderla... para embarcarte en el apoteósico viaje del saber y descubrir los misterios que esconde la naturaleza que nos rodea.

Comencemos de nuevo, como es debido, primero, ¿qué es un fractal? y sobre todo... ¿por qué los alabo tanto? (esta respuesta será un poco más larga y con ella, ya de paso, espero transmitir mi "devoción"). Bien, según la RAE, un fractal se define de la siguiente forma:

"Estructura iterativa que tiene la propiedad de que su aspecto y distribución estadística no cambian cualquiera que sea la escala con que se observe."

Hablando de forma más clara y concisa (y menos rigurosa). Podría decirse que el fractal "toma" una primera forma básica, puede ser cualquiera, la que se nos pase por la cabeza, y vamos repitiendola infinitas veces, no te confundas, se pueden conseguir estructuras realmente complejas con este procedimiento. Por ejemplo, aquí se van añadiendo sucesivamente varios triángulos equiláteros:

Copo de nieve de Koch

FRASE MATEMÁTICA 17 - ALBERT EINSTEIN

Tomada del blog Frases Celebres

EL PROBLEMA DE LOS CUADRADOS

Hace ya algo más de un mes escribimos aquí sobre el Problema de Basilea, resuelto por Euler hace ya casi 300 años. Este problema era realmente complicado y es por eso que decidimos proponer otro problema más sencillo (y a mi parecer bastante "bello") para acotar está suma.

Recordemos todo esto rápidamente, el problema de Basilea pregunta lo siguiente:

¿Cuál es la suma infinita de los inversos de los cuadrados perfectos?

El problema de Basilea, arte urbano

Como ya hemos dicho antes la respuesta fue conseguida por Euler que demostró que el número buscado era un sexto de pi elevado al cuadrado. Sin embargo hay una forma "elemental" de conseguir una cota superior de este número, un resultado que sabemos que nuestra suma no superará. El enunciado del problema que nos da dicho valor es el siguiente:

Prueba que los cuadrados de lado 1, 1/2, 1/3 ... pueden ser colocados todos ellos dentro de otro cuadrado mayor de lado 3/2 sin que ninguno de los "cuadraditos pequeños" compartan algún punto interior (es decir, que no se intersequen).

La relación que mantiene este segundo enunciado con el anterior se basa en las áreas de los cuadrado, cada uno de nuestros infinitos cuadrados posee una superficie que coincide con el inverso de un cuadrado perfecto, al introducir todos ellos en un cuadrado de lado 3/2, habremos probado que la suma es inferior a 2.25 (3/2 elevado al cuadrado). 

Ya lo propusimos hace algo más de un mes en la entrada que hablaba sobre el problema de Basilea. Sin embargo, si no lo resolviste entonces te propongo que, antes de leer las siguientes líneas de este texto, cojas una taza con un buen café,  algo de papel y lápiz y que intentes tirar de imaginación y creatividad para solucionar este reto. Si tampoco te ves con ganas pero sientes curiosidad por saber como resolver este "acertijo" te animo a seguir leyendo, vamos a desgranar paso a paso este problema.

¿Estás preparado? Sí, pues vamos con ello.