APROXIMANDO A PI POR RACIONALES

Todos sabemos que el número $\pi$ es irracional, no puede ser expresado con una fracción exacta $\frac{p}{q}$ con $p$ y $q$ enteros. En concreto, esto implica que la expresión decimal de $\pi$ no se acaba nunca y no repite el mismo bloque de números una vez tras otra infinitamente; es decir, no es un decimal periódico.

Pi versión Picasso (fuente)

No obstante, demostrar que $\pi$ es irracional no es algo tan sencillo. Pese a que este número se conoce desde los albores de la humanidad, pues $\pi$ se define de una forma muy simple y natural, es la relación entre el diámetro y el perímetro de una circunferencia, no se demostró hasta hace relativamente poco que es un número irracional. En 1768, Johann Lambert, un matemático alemán nacido en Francia, probó por primera vez lo que todos sospechaban, "el número $\pi$ es irracional". Pero, y hasta entonces, ¿qué se usaba? Por supuesto, aproximaciones racionales.

Johann Lambert (fuente)

Quizás, la aproximación por racionales más famosa sea la de Arquímedes (alrededor 250 a.C.). Muy ingeniosamente, aproximó este valor encajando circunferencias entre polígonos regulares de $n$ lados inscritos y circunscritos. Calculando los diámetros y los perímetros de estos polígonos inscritos y circunscritos se pueden hallar cotas inferiores y superiores para $\pi$ que aumentan de precisión al incrementar el número de lados de los polígonos regulares.

En estos ejemplos podemos ver la idea, polígonos regulares inscritos y circunscritos cada vez más parecidos a la circunferencia (fuente) 

Empezó con hexágonos y fue duplicando el número de lados hasta llegar a un eneadecahexágonos (o polígonos de $96$ lados si dejamos las palabras rimbombantes, pero en esta explicación hay que homenajear a los maestros griegos). De esta manera pudo hallar la aproximación

$\frac{223}{71} < \pi < \frac{22}{7} $ 

ó

$3.140845... < 3.141592... < 3.142857$

Por lo compacta que es la expresión, $\frac{22}{7}$ es la aproximación de Arquímedes "más famosa" que ha llegado a nuestros días. El acercamiento por exceso de $\pi$ de Arquímedes.

No obstante, antes de continuar con el resto de esta entrada, me gustaría que el lector se detuviera a admirar la belleza de la idea que acaba de ver. En cierto modo, el bueno de Arquímedes ha usado la idea de límite, nada fuera de lo común, ¿no? Pues quizás sí, hay que tener en cuenta que esta idea es del orden de 1800 años anterior al cálculo diferencial de Newton y Leibniz y de que precede a la integral de Riemann por casi 2000 años. A mí por lo menos, me deja sin palabras, nunca es mal momento para recordar que Arquímedes es uno de los mejores matemáticos que han visto este mundo.

Tras este breve (y necesario) paréntesis sobre la magnificencia del genio griego, volvemos a lo que nos atañe.  Pues, a lo largo de la historia se han usado muchos racionales para aproximar $\pi$.

Hacia 1900 a.C. los babilonios hacían cálculos equivalentes a la aproximación $\pi \sim \frac{25}{8} = 3 + \frac{1}{8}$.

El papiro matemático de Rhind fue tomado por un escriba llamado Ahmes durante el Segundo Período Intermedio, alrededor de 1650-1550 a.C. (aunque él asegura haberlo copiado de otro papiro más antiguo del Imperio Medio, 2055-1650 a.C.). Incluye un cálculo aproximado del área de un círculo; interpretado en términos modernos, el resultado obtenido equivale a tomar $\pi \sim \frac{256}{81}$. De todas formas, no está claro si en el Antiguo Egipto reconocían una constante específica análoga a $\pi$.

Papiro de Rhind (fuente)

Alrededor del año 900 a.C., en su texto Shatapatha Brahmana, el astrónoma indio Yajnavalkya aproximó a todos los efectos $\pi$ con $\frac{339}{108}$.

Hacia el 150 a.C., Ptolomeo aproximó $\pi$ por $\frac{377}{120}$. 

Alrededor del 250 d.C., el matemático chino Liu Hui mostró que $\pi \sim \frac{3927}{1250}$.

Podemos comparar estas aproximaciones calculando hasta cinco decimales de cada una de ellas para valorar (y admirar) la precisión de los resultados conseguidos:

Número	Aproximación a 5 decimales	Error relativo
$\pi$	3.14159
$\frac{22}{7}$	3.14285	0.04% más grande
$\frac{25}{8}$	3.12500	0.05% más pequeño
$\frac{256}{81}$	3.16049	0.06% más grande
$\frac{339}{108}$	3.13888	0.08% más pequeño
$\frac{223}{71}$	3.14084	0.02% más pequeño
$\frac{377}{120}$	3.14166	0.002% más grande
$\frac{3927}{1250}$	3.14160	0.0002% más grande

Desde entonces, la cosa ha cambiado mucho, y hoy en día cualquier ordenador es capaz de obtener varios miles de dígitos de $\pi$ en cuestión de segundos (por ejemplo en esta curiosa página web puedes buscar cuándo aparece una determinada sucesión de números en el desarrollo decimal de $\pi$, ¡podrías incluso buscar el Quijote entero!). No obstante, es de admirar el trabajo que hicieron estos genios de la Antigüedad con tan pocas herramientas.

Esta entrada participa en la Edición 12.2: Carl Friedrich Gauss del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Gaussianos.

Y un poco de bibliografía:

- El libro "Números Increíbles" del también increíble Ian Stewart.

- La entrada "Arquímedes y el número $\pi$" del blog Matemáticas Educativas.