Sean $x_1$, ..., $x_{100}$ números reales no negativos tales que $x_i + x_{i+1} + x_{i+2} \leq 1$ para todo $i = 1, ..., 100$ (aquí consideramos $x_{101}=x_1$ y $x_{102}=x_2$. Encontrar el máximo valor posible para la suma
$S = \sum_{i=1}^{100} x_i x_{i+2}$
Problema propuesto por Rusia en la Shortlist IMO 2010 (Astana).
Este problema es un reto de Matemático Soriano. ¿No sabes qué son los retos? Lee la entrada retos matemáticos. La idea es debatir la solución de este problema en la sección de comentarios, seguro que tenemos un debate lleno de ideas maravillosas.
Creo que la respuesta intuitiva que todo el mundo da a primera vista el la solucion donde x_i=1/3 para todo i, es la primera solución que yo pense. Sin embargo, probando con números y conbinaciones llegué a S=100/8 con una sucesión con O's (1/2,0,1/2,0...) es decir una sucesión donde x_2i=0 y x_2i+1=1/2. Con esta sucesión llegamos a que S=100/8.
ResponderEliminarQueda probar que este es el valor máximo de la suma.
Para ello cabe fijarse en dos detalles,
Por un lado podemos reescribir S como una suma de 50 terminos donde agrupamos los pares e impares, S=SUM ( x_2i-1*x_2i+1 + x_2i*x_2i+2)
Tambien vemos que x_2i-1 ≤ 1 - x_2i - x_2i+1 y de la misma forma x_2i+2 ≤ 1 - x_2i - x_2i+1
Ahora de las desigualdades llegamos usando de la desigualdad Aritmetico Geométrica a que los coeficientes de la suma son menores o iguales que 1/4 con lo que queda probado que S=100/8 es el resultado máximo.
Esta es una pruba a la que llego asumiendo que el resultado de 100/8 es el máximo e intentar buscar el camino para probarlo, estoy seguro de que tiene que haber alguna forma que evite esto.
Tu intuición no falla, la respuesta numérica es $\dfrac{25}{2}$. Ya has visto que dicho número se puede alcanzar, quizás ahora solo necesites demostrar que $S \leq \dfrac{25}{2}$ para todas las combinaciones $x_1, \cdots ,x_{100}$ que satisfacen las hipótesis del problema. Un $\leq$ debería ser más fácil de demostrar que un $=$ a secas, así que ya tienes la mitad del problema :p
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